Nullstellenbestimmung - Verfahrensvergleich
Die Besonderheiten der auf meiner Webseite betrachteten vier Verfahren Sekanten-, Newton-, Tiruneh- und Halley-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer reellen Funktion sind in folgender Tabelle zusammengestellt.
Im folgenden wird für einige Funktionen das unterschiedliche Verhalten der Verfahren dargestellt ...
• f (x) = x5 - 3x4 - 5x3 + 15x2 + 4x -
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Das Poylnom hat die einfachen Nullstellen {-2, -1, 1, 2, 3}.
Sekantenverfahren
Newton-Verfahren
Halley-Verfahren
• f (x) =
x4 - x2 - 1
Das Polynom hat die Nullstellen {-1.272..., 1.272...}.
Bei x = -½ √2 und x = ½ √2 liegen lokale Minima (Tiefpunkte),
bei x = 0 liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt).
Sekantenverfahren
x0 aus [-2.5, 2.5] (500 Punkte)
w = xi+1 - xi = 1.6
in allen Intervallen [xi, xi+1] liegt stets eine Nullstelle der Funktion, dennoch Divergenz in einigen Bereichen
Newton-Verfahren
Divergenz bei x = 0 (f hat dort ein relatives Maximum)
Halley-Verfahren
"Springen" zwischen den Nullstellen N1 und N2 im Bereich zwischen den Extremwerten; Divergenz bei x = 0 (f hat dort ein relatives Maximum)
• f (x) = 5 (x+1) x² (x-1)³
Das Polynom hat eine einfache Nullstelle bei x = -1,
eine doppelte Nullstelle bei x = 0
und eine dreifache Nullstelle (Terassenpunkt) bei x = 1.
Sekantenverfahren
Newton-Verfahren
Halley-Verfahren
• f (x) = sin (x)
Sekantenverfahren
Newton-Verfahren
Halley-Verfahren
• f (x) = x3 - 2x + 1
Sekantenverfahren
Newton-Verfahren
Halley-Verfahren