Polysphericons - Grundlagen
Die Basis für die weiteren Betrachtungen bildet das erstmals 1969 von Colin Roberts beschriebene Sphericon, - quasi das "Ursphericon" - das auf einem Quadrat beruht. Dessen Bauprinzip folgend, kann eine Reihe unterschiedlicher Sphericons (sog. Polysphericons) für p, k ∈ ℕ, p > 2, k < p konstruiert werden:
- Bilde den Rotationskörper eines regulären p-Ecks mit p > 2
- Halbiere diesen entlang eines p-Ecks
- Rotiere eine Hälfte k ∙ 2π / p um die durch den Mittelpunkt des Polygons verlaufende Achse
- Setze beide Hälften wieder zusammen: es entsteht ein (p, k)-Polysphericon.
Abhängig vom Grundpolygon (gerade oder ungerade Anzahl der Ecken) und der Lage der Rotationsachse (Ecke-Ecke, Ecke-Kante, Kante-Kante) kann man jedem Körper eine Klasse von Polysphericons zuordnen:
- Duales Polysphericon: gerade Anzahl der Ecken, Rotationsachse Kante-Kante
- Gerades Polysphericon: gerade Anzahl der Ecken, Rotationsachse Ecke-Ecke
- Ungerades Polysphericon: ungerade Anzahl der Ecken, Rotationsachse Ecke-Kante
Aus der Anzahl p der Ecken und der Anzahl k der Drehungen einer Hälfte lässt sich die Anzahl der Flächen und Kanten des Polysphericons bestimmen:
Für die auf meiner Seite betrachteten Polysphericons zeigt die folgende Tabelle die konkreten Werte für die Anzahl der Flächen und Kanten. Bei einem Wert von k = 0 wird die Anzahl der Flächen und Kanten des Rotationskörpers vor dessen Halbierung und Drehung angegeben. Für die Färbung gilt:
- gelb unterlegte Felder: Werte für gerade Polysphericons (Rotationsachse Ecke - Ecke)
- blau unterlegte Felder: Werte für duale Polysphericons (Rotationsachse Kante - Kante).
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Trisphericon p = 3 |
Sphericon p = 4 |
Pentasphericon p = 5 |
Hexasphericon p = 6 |
Octasphericon p = 8 |
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| k: | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| Flächen | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | |
| 3 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 | 5 | 2 | 3 | 2 | 5 | 2 | 3 | 2 | ||||||||||
| Kanten | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | ||||||||||
Man beachte, dass sich auf der Grundlage geradzahliger Polygone nur exakt p / 2 unterschiedliche für Polysphericons erzeugen lasssen, wobei der ursprüngliche Rotationskörper (k = 0) darin enthalten ist. Für geradzahliges p gilt die folgende Identität:
(p, k) - Polysphericon ≡ (p, k mod p/2) - Polysphericon mit 2 < k < p