Als Beispiel für eine komplexe Zahlenfolge dient hier die Folge mit der Form

Für verschiedene komplexe Startwerte a werden die ersten n Glieder der Zahlenfolgen berechnet und in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt.

Liegt a innerhalb des Einheitskreises, so konvergiert die Zahlenfolge, andernfalls divergiert sie.

Um sich den Graph der komplexen Funktion f : D → W  mit  D, W ⊆ ℂ  besser vorstellen zu können, finden Sie nachfolgend für f (z) zunächst 3D- und Contour-Plots ( jeweils Realteil Re [f(z)], Imaginärteil Im [f(z)] ) sowie einen Phasen-Plot mit Phase und Modulus.

Die weißen Punkte im 3D-Plot kennzeichnen dabei die Nullstellen von f. Die Höhenlinien im Contour-Plot entsprechen dem Raster der senkrechten Real-/Imaginär-Achse im 3D-Plot.

...  Winterabend ...

(implizite Flächen)

Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen selbst vornehmen möchten, steht hierfür die nachfolgende ZIP-Datei als Download zur Verfügung. Sie enthält eine .CFF-Datei, die mit dem Programm Vision of Chaos für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) für die entsprechende Funktion ermöglicht.

Für eigene Berechnungen / Experimente mit VOC laden Sie den Shader-B herunter und ersetzen Sie den entsprechenden Abschnitt im Shader-B mit den folgenden Daten (Copy & Paste).

// Set DEGREE N of Polynomial (2 ... 9):
int N= 8;

// ROOTS of p(z) - to be set only, if random_method=0
dvec2 A =dvec2( 1.  ,  0. );
dvec2 B =dvec2(-1.  ,  0. );
dvec2 C =dvec2( 0.  ,  1. );
dvec2 D =dvec2( 0.  , -1. );
dvec2 E =dvec2( 0.7071067811865475244008444  ,  0.7071067811865475244008444 );
dvec2 F =dvec2( 0.7071067811865475244008444  , -0.7071067811865475244008444 );
dvec2 G =dvec2(-0.7071067811865475244008444  ,  0.7071067811865475244008444 );
dvec2 H =dvec2(-0.7071067811865475244008444  , -0.7071067811865475244008444 );
dvec2 I =dvec2( 0  , 0 );

2021 Restlaufzeit:

3D Kürbis als Parameterfläche

"... und kam die goldene Herbsteszeit
und die Birnen leuchteten weit und breit..."

3D Birne als Implizite Fläche

Für einen Bereich B = [-5, 5] × [-5, 5] ⊆ ℂ  (so nicht anders angegeben) zeigen die Bilder in folgender Galerie die Konvergenzgeschwindigkeit einiger Verfahren an Hand einer Regenbogen-Farbpalette mit 256 Farbwerten. Um die gesamte Farbpalette abzubilden, wurde p_step auf den Wert 10 gesetzt (s. unter Algorithmen). Eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit entspricht so Rot- bis Gelbtönen, eine niedrige entspricht Blautönen.

Das Polynom 7. Grades besitzt eine reelle und sechs komplexe Nullstellen:

A ≈   -1.20881011                              B ≈ ( -1.22640521  , -0.77449914 )

C ≈ ( -1.22640521  ,  0.77449914 )   D ≈ (  0.46340699 ,  -0.54837160 )

E ≈ (  0.46340699 ,   0.54837160 )   F ≈ (  1.36740328  , -0.64703797 )

G ≈ (  1.36740328  ,  0.64703797 )

... kleine Themenauswahl ...

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  CET Berlin

Frohe Ostern!

Funktionsgraph aus Ostereiern

  CET Berlin

Im Folgenden wurden für komplexe Funktionen f (z) für einen Bereich B ⊆ ℂ die Einzugsbereiche ihrer Nullstellen (Basins of Attraction) berechnet. Als Anfangsbereich wurde B mit Re [-2, 2], Im [-2, 2] gewählt und dann in kleine Teilbereiche von B hinein gezoomt. Für einige der Funktionenwurde wurde für B auch die Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen) berechnet.

Die Nullstellen der Funktionen und zugeordneten Einfärbungen finden Sie unter Beispielfunktionen mit Nullstellen. DIe berechneten  Fraktale haben eine Größe von 1024 x 1024 Pixel.

         Runiter Company 2020

Das "Kernstück" ist dabei der Nocken. Dieser wid hier mittels einer "Ei-Kurve" erzeugt. Für die Rotation (s. auch Rotationen im Raum) wird diese jedoch nicht wie beim 3D Ei per "einfacher" Funtion y = f (x) realisiert, sondern als parametrische Funktion [4]:

 http://matheminutes.blogspot.com/2013/03/eggquations.html

"... und kam die goldene Herbsteszeit
und die Birnen leuchteten weit und breit..."

3D Birne als Implizite Fläche

            Erntezeit ...

3D Apfel als Parameterfläche

Tipps zur Navigation:

• Auf dieser Webseite sind Links sowie Downloads im Text in gelb ohne Unterstrich dargestellt.

• Hinweise für eine optimale Navigation / Ansicht sind mit dem Symbol gekennzeichnet und werden in orange angezeigt.

• An einigen Stellen befindet sich ein Hinweis zur optimalen mobilen Ansicht:

Ergänzung: Volumen Rotationskörper mit parametrischer Funktion unter 3D Mathe / Rotationskörper

Math meets Winter ...

  Beispieldatei.gc3

Das ist ein Schlagwort zum Überfahren mit der Maus.

Das Schlagwort ist ein zum Überfahren mit der Maus.

Das Schlagwort ist ein zum Überfahren mit der Maus.

Text

Text

Wenn Sie hier im Text dieses Stichwort mit der Maus überfahren, öffnet sich ein Bild mit einem Erklärtext.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig. Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden außer der mittleren Umlaufzeit folgende Größen berücksichtigt (Werte bei [1]):

große Halbachse       •       Exzentrizität       •       Inklination       •        Achsneigung (bei Erde und Saturn).

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: durch die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn zur Sonne) entstehen die Jahreszeiten.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig.

Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden berücksichtigt (Werte bei [1]):

• große Halbachse
• Exzentrizität
• Inklination
• Achsneigung (bei Erde und Saturn)
• mittlere Umlaufzeit.

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: während die Erde die Sonne umläuft, bleibt die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn um die Sonne) im Raum (abgesehen von langperiodischen Effekten) fast unverändert . Dadurch ist von März bis September die Nordhalbkugel etwas mehr zur Sonne hin geneigt, von September bis März die Südhalbkugel. Im Jahreslauf ändern sich daher der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen und die Dauer des lichten Tages, womit die Jahreszeiten entstehen.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig. Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden außer der mittleren Umlaufzeit folgende Größen berücksichtigt (Werte bei [1]):

große Halbachse       •       Exzentrizität       •       Inklination       •        Achsneigung (bei Erde und Saturn).

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: durch die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn zur Sonne) entstehen die Jahreszeiten.

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Contour Plot (Imaginärteil) von f(z) mit z = x + i y

Such tips are called singularities . Singularities can look very different (especially not necessarily sharp, see also at the bottom) and appear in many other fields of mathematics, physics, technology and nature.

A point P ( p _x | p _y | p _z ) of an algebraic surface with the equation f (x, y, z) = 0 is called singularity if both

as well as all partial derivatives of f equal zero are:

Otherwise, P is called smooth .

Whereas for every smooth point of an algebraic surface f a tangential plane exists at this point, since the gradient for f at this point is not (0, 0, 0), this is not the case for a singularity at point P, since for the Gradient at point P holds: