Die folgende Fläche mit dem definierenden Polynom  f (x, y, z) = -x³ - y² z - x z² + x z = 0  besitzt die zwei Singularitäten P (0 | 0 | 0) und Q (0 | 0 | 1).

Es gilt:

f (P) = f (Q) = 0

    

 

Fläche Funktion  x  y  z
 Caley
Cubic

x^3+y^3+z^3+1-0.25*(x+y+z+1)^3 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=16

 -4

:

4

 -4

:

4

 -4

:

4

Caley
Cubic
(Hunt)

-5*(x^2*y+x^2*z+y^2*x+y^2*z+z^2*y+z^2*x)+2*(x*y+x*z+y*z) = 0

 -1

:

1

-1

:

1

 -1

:

1

Caley
Cubic
(Endraß)

4 (x^2+y^2+z^2) + 16 x y z - 1 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=6.25
 -2.5

:

2.5

 -2.5

:

2.5

 -2.5

:

2.5

Labs
Cubic

 

x^3+3x^2-3x*y^2+3y^2-4+z^3+3z^2 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=36

 -6

:

6

 -6

:

6

 -6

:

6

Nordstrand
Quartic
(11 nodes)

25(x^3(y+z)+y^3(x+z)+z^3(x+y))+50(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)-125(x^2*y*z+y^2*x*z+z^2*x*y)+60x*y*z-4(x*y+x*z+y*z) = 0

 

x^2+y^2+z^2<=4

  -2

:

2

-2

:

2

-2

:

2

Kummer
Quartic

a=0.5

s=√2

(x^2+y^2+z^2-2.25)^2-5.75/0.75*(1-z-s*x)*(1-z+s*x)*(1+z+s*y)*(1+z-s*y) = 0

 

x^2+y^2+z^2<=4

  -4

:

4

-4

:

4

-4

:

4

Togliatti
Quintic
(Barth)

a=-(8/5)*(1+1/(√5))*sqrt(5-√5)

b= (1/4)*(1+3*√5)

c=(1/2)*sqrt(5-√5)

 

a*(x-z)*(cos((2*pi)/5)*x-sin((2*pi)/5)*y-z)*(cos((4*pi)/5)*x-sin((4*pi)/5)*y-z)*(cos((6*pi)/5)*x-sin((6*pi)/5)*y-z)*(cos((8*pi)/5)*x-sin((8*pi)/5)*y-z)+(1-c*z)*(x^2+y^2-1+b*z^2)^2 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=16

 -4

:

4

-4

:

4

-4

:

4

Togliatti
Quintic

w=1

 

64*(xw)*(x^4-4*w*x^3-10*x^2*y^2-4*x^2*w^2+16*w^3*x-20*w*x*y^2+5*y^4

+16*w^4-20*y^2*w^2)-5*√(5-√5)*(2*z-√(5-√5)*w)*(4*(x^2+y^2-z^2)+(1+3*√5)*w^2)^2 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=64

-8

:

8

-8

:

8

-8

:

8

Barth
Sextic

p= (1+√5)/2

q=p^2

 

4*(q*x^2-y^2)*(q*y^2-z^2)*(q*z^2-x^2)-(1+2*p)*(x^2+y^2+z^2-1)^2 = 0

-2

:

2

-2

:

2

-2

:

2

Sarti
Sextic

 

w=1

x^6+y^6+z^6+w^6+15(x^2*y^2*z^2+x^2*y^2*w^2)+15(x^2*z^2*w^2+y^2*z^2*w^2)-7/12(x^2+y^2+z^2+w^2)^3 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=16

 

Variante 2:

x^6+y^6+z^6+w^6+15(x^2*y^2*z^2+x^2*y^2*w^2)

+15(x^2*z^2*w^2+y^2*z^2*w^2)-2/3(x^2+y^2+z^2+w^2)^3 = 0

-4

:

4

 -4

:

4

-4

:

4

Septic
(45 nodes)

x^5-10*x^3*y^2-5*(x^2+y^2)^2+20*(x^2+y^2)+5*x*y^4+8*(0.5*z^7-3.5*z^5+7*z^3-3.5*z-1)-16 = 0

-5

:

5

 -5

:

5

-5

:

5

Labs
Septic

 

b= - 0.140106854987124776454220549858

 

x^7-21*x^5*y^2+35*x^3*y^4-7*x*y^6+7*x^6+21*x^4*y^2+21*x^2*y^4+7*y^6-57*x^4-114*x^2*y^2-57*y^4+

(24/7*b^2+768/49*b+800/7)*x^2+(24/7*b^2+768/49*b+800/7)*y^2+(-149808/2401*b^2+3216/343*b

-147584/2401)+(-49*b^2+7*b-52)*x^4*z+(-98*b^2+14*b-104)*x^2*y^2*z+(-49*b^2+7*b-52)*y^4*z

+(128/7*b^2+704/49*b+128/7)*x^2*z+(128/7*b^2+704/49*b+128/7)*y^2*z+(-1632/343*b^2+16/7*b

-192/343)*z+(-98*b^2+14*b-101)*x^4*z^2+(-196*b^2+28*b-202)*x^2*y^2*z^2+(-98*b^2+14*b

-101)*y^4*z^2+(3016/7*b^2-2904/49*b+440)*x^2*z^2+(3016/7*b^2-2904/49*b+440)*y^2*z^2+

(-17440/343*b^2+416/49*b-17040/343)*z^2+(-49*b^2+7*b-50)*x^4*z^3+(-98*b^2+14*b

-100)*x^2*y^2*z^3+(-49*b^2+7*b-50)*y^4*z^3+(5776/7*b^2-5648/49*b+5888/7)*x^2*z^3

+(5776/7*b^2-5648/49*b+5888/7)*y^2*z^3+(-313136/343*b^2+6288/49*b-319264/343)*z^3

+(3680/7*b^2-3608/49*b+536)*x^2*z^4+(3680/7*b^2-3608/49*b+536)*y^2*z^4+(-592240/343*b^2

+11856/49*b-603856/343)*z^4+(816/7*b^2-800/49*b+832/7)*x^2*z^5+(816/7*b^2-800/49*b

+832/7)*y^2*z^5+(-458832/343*b^2+1312/7*b-467840/343)*z^5+(-166272/343*b^2+3328/49*b

-169536/343)*z^6+(-166272/2401*b^2+3328/343*b-169536/2401)*z^7 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=64

-8

:

8

-8

:

8

-8

:

8

Heider
Septic

(x*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(2*pi/7)*0.8358-y*sin(2*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)

*(x*cos(4*pi/7)*0.8358-y*sin(4*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(6*pi/7)*0.8358

-y*sin(6*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(8*pi/7)*0.8358-y*sin(8*pi/7)*0.8358

-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(10*pi/7)*0.8358-y*sin(10*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)

*(x*cos(12*pi/7)*0.8358-y*sin(12*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)-(x^2+y^2-4.731)^2 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=49

-7

:

7

 -7

:

7

-7

:

7

van
Straten
Septic

0.99*(64*(0.5*z)^7-112*(0.5*z)^5+56*(0.5*z)^3-7*(0.5*z)-1)+(0.7818314825-0.3765101982*y-

0.7818314825*x)*(0.7818314824-0.8460107361*y-0.1930964297*x)*(0.7818314825-0.6784479340*y

+0.5410441731*x)*(0.7818314825+0.8677674789*x)*(0.7818314824+0.6784479339*y

+0.541044172*x)*(0.7818314824+0.8460107358*y-0.193096429*x)*(0.7818314821+0.3765101990*y

-0.781831483*x) = 0

 

x^2+y^2+z^2<=36

 -6

:

6

 -6

:

6

 -6

:

6

Breske
Septic

(2*x^7-42*x^5*y^2+70*x^3*y^4-14*x*y^6-14*x^6+70*x^4*y^2+70*x^2*y^4-14*y^6+28*x^5+56*x^3*y^2

+28*x*y^4-84*x^2*y^2+28*y^4-42*x^3-42*x*y^2+14*x^2-14*y^2+14*x)+0.5*(64*z^7-112*z^5+56*z^3-7*z+5)

 

x^2+y^2+z^2<=25

 -5

:

5

  -5

:

5

  -5

:

5

Chmutov
Octic
(144 nodes)

 

 x^8+y^8+z^8-2*x^6-2*y^6-2*z^6+1.25*x^4+1.25*y^4+1.25*z^4-0.25*x^2-0.25*y^2

-0.25*z^2+0.03125 = 0

 -1

:

1

 -1

:

1

 -1

:

1

Endraß
Octic

s=√2

(-1/4*(1-s)*(x^2+y^2)^2+(x^2+y^2)*((1-1/s)*z^2+1/8*(2-7*s))-z^4+(0.5+s)*z^2-1/16*(1-12*s))^2-(x-1)*(s/2*x+s/2*y-1)*(y-1)*(-s/2*x+s/2*y-1)*(-x-1)*(-s/2*x-s/2*y-1)*(-y-1)*(s/2*x-s/2*y-1) = 0

 

x^2+y^2+z^2<=25

 

Variante 2:  s= - √2

  -5

:

5

 -5

:

5

  -5

:

5

Sarti Octic
(72 nodes)

3584*z^4+256*z^8+1792*z^4*x^4+10752*z^2*x^4+1792*x^4+256*x^8+256+1792*z^4*y^4

+10752*z^2*y^4+1792*y^4+256*y^8+10752*z^4*x^2*y^2-21504*z^2*x^2*y^2+10752*x^2*y^2

+3584*x^4*y^4+192(-1-12*x^4*y^2*z^2-24*x^2*y^2*z^2-12*x^2*y^2-12*x^2*z^2-12*y^2*z^2

-12*x^4*y^2-12*x^4*z^2-12*x^2*y^4-12*x^2*z^4-12*y^4*z^2-12*y^2*z^4-4*x^6*y^2-4*x^6*z^2-6*x^4*y^4

-6*x^4*z^4-4*x^2*y^6-4*x^2*z^6-4*y^6*z^2-6*y^4*z^4-4*y^2*z^6-12*x^2*y^4*z^2-12*x^2*y^2*z^4

-4*x^2-4*y^2-4*z^2-6*x^4-6*y^4-6*z^4-4*x^6-4*y^6-4*z^6-x^8-y^8-z^8) = 0

 

x^2+y^2+z^2<=25

 -7

:

7

-7

:

7

-7

:

7

Sarti Octic
(144 nodes)

x^8+y^8+z^8+1+14(x^4*y^4+x^4*z^4+x^4+y^4*z^4+y^4+z^4)+168*x^2*y^2*z^2

-9/16*(x^2+y^2+z^2+1)^4 = 0

  -7

:

7

  -7

:

7

 -7

:

7

Breske
Nonic
(216 nodes)

x^9-36*x^7*y^2+126*x^5*y^4-84*x^3*y^6+9*x*y^8+64*z^9-9*x^8+126*x^6*y^2-126*x^2*y^6

+9*y^8+27*x^7- 27*x^5*y^2-135*x^3*y^4-81*x*y^6-144*z^7-21*x^6-225*x^4*y^2+45*x^2*y^4

-39*y^6-36*x^5+72*x^3*y^2+108*x*y^4+108*z^5+54*x^4+108*x^2*y^2+54*y^4+9*x^3

-27*x*y^2-30*z^3-27*x^2-27*y^2+2.25*z+4.25 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=16

 -4

:

4

-4

:

4

-4

:

4

Escudero
Nonic
(220 nodes)

 

d=9

L(x,y,k) = y-(cos(k*2*pi/(6d))-x)*tan(k*pi/(6d))-sin(k*2*pi/(6d))

lambda(d) = 3^((1-(-1)^d)/4)*(-1)^(floor((d+3)/6)+1)

J(x,y) = lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49)

Q(x,y,z) = J(x,y)+(-1)^(d+1)/4*(J(z,0)-1+(-1)^(d+1)*2) = 0

 

x^2+y^2+z^2 <=25

 -5

:

5

  -5

:

5

  -5

:

5

Barth
Decic

p= (√5+1)/2

 

8(x^2-p^4*y^2)(y^2- p^4*z^2)*(z^2-p^4*x^2)*(x^4+y^4+z^4-2*x^2*y^2-2*x^2*z^2-2*y^2*z^2)+(3+5p)(x^2+y^2+z^2-a)^2*(x^2+y^2+z^2-(2-p))^2

 

x^2+y^2+z^2<=9

 -3

:

3

-3

:

3

-3

:

3

Sarti
Dodecic

 

 

-22* (1+x^2+y^2+z^2)^6 +243*(48* (x^2*y^2+z^2) * (y^2+x^2*z^2) * (x^2+y^2*z^2) -352*x^2*y^2*z^2*(x^2+y^2+z^2 +x^2*y^2 +x^2*z^2 +y^2*z^2) +336*x^2*y^2*z^2* (1+x^4+y^4+z^4) +2*(x^2+y^2+z^2+

x^2*y^2 +x^2*z^2 +y^2*z^2) * (1+x^4+y^4+z^4)^2 -14*(1+x^4+y^4+z^4) * ((z^2+x^2*y^2) *

(y^2+x^2*z^2) +(z^2+x^2*y^2) * (x^2+y^2*z^2)+ (x^2+y^2*z^2) * (y^2+x^2*z^2)) -6* (1+x^4+y^4+z^4)*((z^2+x^2*y^2)^2 + (y^2+x^2*z^2)^2+(x^2+y^2*z^2)^2) +33*sqrt(5) * ((x^2*y^2+z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2) - (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) - (x^2*y^2+z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (x^2+y^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) - (x^2+y^2*z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2)) +19*((x^2*y^2+z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2)+ (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) + (x^2*y^2+z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (x^2+y^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) + (x^2+y^2*z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2)) +10* ((x^2*y^2+z^2)^3+ (y^2+x^2*z^2)^3+ (x^2+y^2*z^2)^3)) = 0

 

x^2+y^2+z^2<=25

 -5

:

5

 -5

:

5

 -5

:

5

Escudero
Dodecic
(581 nodes)

wie Escudero Nonic, aber mit

 

d=12

J(x,y) = lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49)
             *L(x,y,55)*L(x,y,61)*L(x,y,67)

 -5

:

5

 -5

:

5

 -5

:

5

Escudero
Quindecic

(1162
nodes)

wie Escudero Nonic, aber mit

 

d=15

J(x,y) = lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49)
            *L(x,y,55)*L(x,y,61)*L(x,y,67)*L(x,y,73)*L(x,y,79)*L(x,y,85)

 
 -5

:

5

 -5

:

5

 -5

:

5

Labs
Quintic
(15 cusps)

x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4-3*z^5-5*x^4-10*x^2*y^2-5*y^4+10*z^3+20*x^2+20*y^2-15*z-24

 

x^2+y^2+z^2<=36

 -6

:

6

 -6

:

6

 -6

:

6

Barth
Sextic
(30 cusps)

a=1

 

4*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*x^2-y^2)*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*y^2-z^2)*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*z^2-x^2)-
(1+2*(a*(1+sqrt(5))/2))*(x^2+y^2+z^2-1)^3 = 0

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

Alaaf und Helau!!!

 

   3D Schneemann
aus Parameterflächen

 


 

Klicken Sie auf ein Bild für eine größere Ansicht.

 

komplexe Funktion f : DW  mit  D, W ⊆ ℂ 

 

Hierzu ein Beispiel:

  

f (x) = x³ + x² - 17 x + 15, bestimme die Nullstellen

  • f (x) = 0
  • rate Lösung:  x0 = 1    f (1) = ... = 0   o.k.
  • Polynomdivision:

  (x³ + x² - 17 x + 15)  :  (x - 1) = x² + 2 x - 15

- (x³ - x²)

      2 x² - 17 x

    - (2x²   - 2 x)

               15 x + 15

            - (15 x +15)   

                           0

  • Restpolynom zu Null setzen und lösen:

          x² + 2 x - 15 = 0
                   ...

  x1 = 3      x2 = - 5

Das Verfahren der Polynomdivision entspricht im Wesentlichem dem Verfahren des schriftlichen Dividierens zweier Zahlen, wie z.B.

 

Für meine Schüler(innen) hatte ich einst ein kleines Erklärvideo erstellt, das die einzelnen Schritte bei der Polynomdivision zeigt:


3D Winterabend

Weitere Berechnungen / Experimente

 

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen selbst vornehmen möchten, steht hierfür die nachfolgende ZIP-Datei als Download zur Verfügung. Sie enthält eine .CFF-Datei, die mit dem Programm Vision of Chaos für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) für die entsprechende Funktion ermöglicht.

Für eigene Berechnungen / Experimente mit VOC laden Sie den Shader-B herunter und ersetzen Sie den entsprechenden Abschnitt im Shader-B mit den folgenden Daten (Copy & Paste).

3D Kürbis als Parameterfläche

"... und kam die goldene Herbsteszeit
und die Birnen leuchteten weit und breit..."

3D Birne als Implizite Fläche

Ein-Schritt-Verfahren (one-step methods)



Zwei-Schritt-Verfahren (two-step methods)



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  CET Berlin

Sinusfunktion aus Ostereiern

  CET Berlin

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Das "Kernstück" ist dabei der Nocken. Dieser wid hier mittels einer "Ei-Kurve" erzeugt. Für die Rotation (s. auch Rotationen im Raum) wird diese jedoch nicht wie beim 3D Ei per "einfacher" Funtion y = f (x) realisiert, sondern als parametrische Funktion [4]:

 http://matheminutes.blogspot.com/2013/03/eggquations.html

"... und kam die goldene Herbsteszeit
und die Birnen leuchteten weit und breit..."

3D Birne als Implizite Fläche

            Erntezeit ...

3D Apfel als Parameterfläche

Herzlich Willkommen auf meiner mathematischen Webseite!

Math meets Winter ...

01.09.18 - Neue Galerie unter '3D Mathe / 3D Flächen / Parameterflächen'
28.08.18 - Bild-Icons auf einigen Seiten für einfachere mobile Navigation
07.07.18 - 'Spielwürfel' unter '3D Mathe / 3D Objekte' erweitert
16.06.18 - neu: 'Planetensystem' unter '3D Mathe'
09.05.18 - neu: 'Verfahrensvergleich' unter 'Numerische Verfahren/Nullstellen'
05.05.18 - Neue Beispiele beim Sekantenverfahren
29.04.18 - Alternative mit User Library unter 'Integral / Normalverteilung"
23.04.18 - neu: 'Sekantenverfahren' unter 'Numerische Verfahren/Nullstellen'
01.04.18 - Neue Beispiele beim Newton-Verfahren
24.03.18 - neu: 'Newton-Verfahren' unter 'Numerische Verfahren/Nullstellen'
18.03.18 - neu: 'Grundlagen' unter 'Numerische Verfahren/Nullstellen'
05.03.18 - neu: 'Iterationen' unter 'Numerische Verfahren'
02.01.18 - Neue Seitenstruktur
26.08.17   Text
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  Beispieldatei.gc3


Das ist ein Schlagwort zum Überfahren mit der Maus.

Das Schlagwort ist ein zum Überfahren mit der Maus.

Das Schlagwort ist ein zum Überfahren mit der Maus.

Text

Wenn Sie hier im Text dieses Stichwort mit der Maus überfahren, öffnet sich ein Bild mit einem Erklärtext.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig. Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden außer der mittleren Umlaufzeit folgende Größen berücksichtigt (Werte bei [1]):

 

große Halbachse       •       Exzentrizität       •       Inklination       •        Achsneigung (bei Erde und Saturn).

 

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: durch die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn zur Sonne) entstehen die Jahreszeiten.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig.

Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden berücksichtigt (Werte bei [1]):

  • große Halbachse
  • Exzentrizität
  • Inklination
  • Achsneigung (bei Erde und Saturn)
  • mittlere Umlaufzeit.

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: während die Erde die Sonne umläuft, bleibt die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn um die Sonne) im Raum (abgesehen von langperiodischen Effekten) fast unverändert . Dadurch ist von März bis September die Nordhalbkugel etwas mehr zur Sonne hin geneigt, von September bis März die Südhalbkugel. Im Jahreslauf ändern sich daher der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen und die Dauer des lichten Tages, womit die Jahreszeiten entstehen.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig. Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden außer der mittleren Umlaufzeit folgende Größen berücksichtigt (Werte bei [1]):

 

große Halbachse       •       Exzentrizität       •       Inklination       •        Achsneigung (bei Erde und Saturn).

 

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: durch die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn zur Sonne) entstehen die Jahreszeiten.

Such tips are called singularities . Singularities can look very different (especially not necessarily sharp, see also at the bottom) and appear in many other fields of mathematics, physics, technology and nature.

A point P ( p x | p y | p z ) of an algebraic surface with the equation f (x, y, z) = 0 is called singularity if both

as well as all partial derivatives of f equal zero are:

Otherwise, P is called smooth .

Whereas for every smooth point of an algebraic surface f a tangential plane exists at this point, since the gradient for f at this point is not (0, 0, 0), this is not the case for a singularity at point P, since for the Gradient at point P holds:

Integrale Integralanwendungen
Numerische Integration Doppelintegral Fläche zwischen Funktionsgraphen   Flächenschwerpunkt zwischen Funktionsgraphen Länge Funktionsgraph Normalverteilung