Polysphericons - Grundlagen
Die Basis für die weiteren Betrachtungen bildet das erstmals 1969 von Colin Roberts beschriebene Sphericon, - quasi das "Ursphericon" - das auf einem Quadrat beruht. Dessen Bauprinzip folgend, kann eine Reihe unterschiedlicher Sphericons (sog. Polysphericons) für p, k ∈ ℕ, p ≥ 3, 0 ≤ k < p konstruiert werden:
- Bilde den Rotationskörper eines regulären p-Ecks mit p > 2
- Halbiere diesen entlang eines p-Ecks
- Rotiere eine Hälfte k ∙ 2π / p um die durch den Mittelpunkt des Polygons verlaufende Achse
- Setze beide Hälften wieder zusammen: es entsteht ein (p, k)-Polysphericon.
Das (p, 0)-Polysphericon ist der Rotationskörper vor Halbierung und Drehungen. Abhängig vom Grundpolygon (gerade oder ungerade Anzahl der Ecken) und der Lage der Rotationsachse (Ecke-Ecke, Ecke-Kante, Kante-Kante) kann man jedem Körper eine Klasse von Polysphericons zuordnen:
- Duales Polysphericon: p ist gerade, Rotationsachse Kante-Kante
- Gerades Polysphericon: p ist gerade, Rotationsachse Ecke-Ecke
- Ungerades Polysphericon: p ist ungerade, Rotationsachse Ecke-Kante
Aus der Anzahl p der Ecken und Anzahl k der Drehungen einer Hälfte mit 0 ≤ k < p lässt sich die jeweilige Anzahl der Flächen und Kanten des Polysphericons bestimmen:
Für die auf meiner Seite betrachteten Polysphericons zeigt die folgende Tabelle die konkreten Werte für die Anzahl der Flächen und Kanten. Bei einem Wert von k = 0 wird die Anzahl der Flächen und Kanten des Rotationskörpers vor dessen Halbierung und Drehung angegeben. Für die Färbung gilt:
- lila unterlegte Felder: Werte für gerade Polysphericons (Rotationsachse Ecke - Ecke)
- orange unterlegte Felder: Werte für duale Polysphericons (Rotationsachse Kante - Kante).
|
Trisph. p = 3 |
Sphericon p = 4 |
Pentasph. p = 5 |
Hexasph. p = 6 |
Heptasphericon p = 7 |
Octasph. p = 8 |
Dodecasph. p = 12 |
||||||||||||||||||||||||
|
k: |
0 |
1 | 2 |
0 2 |
1 3 |
0 |
1 | 2 | 3 | 4 |
0 3 |
1 4 |
2 5 |
0 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
0 4 |
1 5 |
2 6 |
3 7 |
0 6 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Flächen | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | 6 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| 3 | 2 | 4 | 2 | 2 | 5 | 2 | 3 | 2 | 7 | 2 | 3 | 4 | 3 | 2 | ||||||||||||||||
| Kanten | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 |
2 |
1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 2 | 3 | 2 |
5 |
2 | 3 | 4 | 3 | 2 |
|
2 |
1 | 3 | 1 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | 6 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | ||||||||||||||||
Aus den obigen Formeln für ungerade, gerade und duale Polysphericons leiten sich die folgenden Aussagen zur Anzahl der Flächen eines (p, k)-Polysphericons mit 0< k < p ab.
Ungerade (p, k)-Polysphericons (p ≥ 3 und p ungerade, 0 < k < p)
- Für k = 2 und alle Vielfachen davon hat ein (p, k)-Polysphericon genau eine Fläche.
- Ist p prim, so haben alle (p, k)-Polysphericons jeweils genau eine Fläche.
- Ist p = n² und n ist prim, so hat das (p, k)-Polysphericon mehr als eine Fläche, falls k ein Vielfaches von n ist; für alle anderen k-Werte hat es genau eine Fläche.
-
Ist p nicht prim, sondern lässt sich vollständig in die Primfaktoren p1, …,pn zerlegen, so hat das
(p1•p2•...•pn ,k)-Polysphericon mehr als eine Fläche, falls k gleich oder ein Vielfaches einer der möglichen Kombinationen ohne Wiederholung der n
Primfaktoren ist; für alle anderen k-Werte hat es genau eine Fläche.
Beispiel: p = 105 = 3 • 5 • 7
Gerade (p, k)-Polysphericons (p ≥ 4 und p gerade, 0 < k < p)
- Auf der Grundlage geradzahliger Polygone lassen sich nur exakt p / 2 unterschiedliche Polysphericons erzeugen lasssen, wobei der ursprüngliche Rotationskörper (k = 0) darin enthalten ist. Für geradzahliges p gilt die folgende Identität:
(p, k) - Polysphericon ≡ (p, k mod p/2) - Polysphericon mit 2 < k < p
