3D Spiralen - 2
Auf 3D Spiralen - 1 wurde zu Beginn die Helix (Schraubenlinie) mit zugehörigem Helicoid betrachtet. Laut Definition windet sich die allgemeine Helix mit konstanter Steigung um den Mantel eines Zylinders mit Radius r.
Im Folgenden wird nun die Helix auf nicht-zylindrische Rotationskörper projiziert und die folgenden fünf Spiral-Objekte für jeden betrachteten Spiraltyp dargestellt:
- Helix
- Konische
- 3D Galileo
- Paraboloide
- 3D Hyperbolische
- 3D Lituus
- 3D Logarithmische
- Kugelspirale
Die Funktion f (t) mit f : Df → ℝ, Df
⊆ ℝ ist die
Grundfunktion für den jeweiligen Spiraltyp; gleichzeitig dient sie als Randfunktion f (z) des zugehörigen Rotationskörpers, der alternativ auch mit
der Gleichung
x² + y² = [ f(z) ]² erzeugt werden kann.
Helix auf Hyperboloid I (einschalig)
Eine Helix wird auf ein einschaliges Hyperboloid projiziert, dem folgende Gleichung zugrunde liegt:
Dies ist ein Rotationskörper, der mit der Randfunktion f (z) durch Rotation um die z-Achse entsteht mit
Die auf das Hyperboloid projizierte Kurve, eine Hyperboloid-Helix,weist eine konstante Steigung in Bezug auf die horizontale x/y-Ebene auf, ihr Radius (Abstand zur Höhenachse des Hyperboloids) ändert sich entlang der Höhenachse z gemäß der Randfunktion f (z).
'quasi-Archimedische' Spirale I
Hyperboloid-Helix I
Rotationskörper I mit Helix
Hyperboloid-Helicoid I
Hyperboloid-Helix I als Rohr
Die Projektion der Hyperboloid-Helix auf die x/y-Ebene ist eine planare Spirale, die sich für große u asymptotisch einer Archimedischen Spirale annähert, denn ...
Der Abstand zum Ursprung r(u) ergibt sich zu
Der Winkel der Spirale ist gegeben durch θ = u / c. Für die genäherte Radiusfunktion ergibt sich somit die "klassische" Polarkoordinatenform:
Dies entspricht der Form r (θ) = a ∙ θ, d.h. die Kurve verhält sich im Unendlichen wie eine Archimedische Spirale: sie wächst linear mit dem Winkel θ und mit dem Steigungsfaktor a = p ∙ c / q.
Für kleine u-Werte ist der Radius auf Grund des Terms √(…+1) nicht exakt proportional zu θ; die Kurve startet für u = 0 nicht im Ursprung wie die reine Archimedische Spirale sondern hat bei u = 0 den Startradius r (0) = p.
Helix auf Hyperboloid II (zweischalig)
Wie auch im vorhergehenden Abschnitt wird eine Helix auf ein Hyperboloid projiziert, jedoch auf ein zweischaliges Hyperboloid mit der Gleichung
Dies ist ein zweiteiliger Rotationskörper, der mit der Randfunktion f (z) durch Rotation um die z-Achse entsteht mit
wobei er im Bereich z ∈ ]-q, q[ nicht definiert ist.
Die im vorigen Abschnitt beim einschaligen Hyperboloid gemachten Aussagen zur Hyperboloid-Helix und ihrer Projektion auf die x/y-Ebene gelten analog auch für den Fall des zweischaligen Hyperboloids.
'quasi-Archimedische' Spirale II
Hyperboloid-Helix II
Rotationskörper II mit Helix
Hyperboloid-Helicoid II
Hyperboloid-Helix II als Rohr
Helix auf Katenoid
In diesem Abschnitt wird eine Helix auf ein Katenoid projiziert, dem folgende Gleichung zugrunde liegt:
Dies ist ein Rotationskörper, der mit der Randfunktion f (z) durch Rotation um die z-Achse entsteht mit
Die auf das Katenoid projizierte Kurve, eine Katenoid-Helix weist eine konstante Steigung in Bezug auf die horizontale x/y-Ebene auf, jedoch ändert sich ihr Radius (Abstand zur Höhenachse des Hyperboloids) entlang der Höhenachse z gemäß der Randfunktion f (z).
'quasi-logarithmische' Spirale
Katenoid-Helix
Rotationskörper mit Helix
Katenoid-Helicoid
Katenoid-Helix als Rohr
Die Projektion der Katenoid-Helix auf die x/y-Ebene ist eine planare Spirale, die sich für große u asymptotisch einer Logarithmischen Spirale annähert, denn ...
Der Abstand zum Ursprung r(u) ergibt sich zu
Der Winkel der Spirale ist gegeben durch θ = u / c. Für die genäherte Radiusfunktion ergibt sich die "klassische" Polarkoordinatenform einer logarithmischen Spirale
bei der der Abstand zum Pol exponentiell mit dem Drehwinkel θ wächst.
Die auf die x/y-Ebene projizierte Katenoid-Helix beginnt im Ursprung eher wie eine "aufgeblasene" Kurve (da cosh(0) = 1 und nicht 0), nähert sich aber mit steigendem u extrem schnell der Form einer perfekten logarithmischen Spirale an. Damit dies geometrisch Sinn ergibt, muss p, q, c > 0 gelten.
Helix auf Helix (Doppel-Helix)
Im Folgenden windet sich eine Helix ℋ2 mit dem Radius r2 um eine andere Helix ℋ1, deren Radius r1 jedoch deutlich größer als r2 ist. Das entstehende Objekt ist eine Doppel-Helix, in diesem Fall auch Doppelwendel genannt.
Eine solche Doppel-Helix findet man z.B. bei den Glühwendeln in Glühlampen (s. folgende linke Abbildung); hierbei wird durch diese spezielle Wendeltechnik ein längerer Draht auf einer kurzen Strecke untergebracht, was somit zu einer höheren Lichtausbeute und Leuchtdichte führt.
In der Handwerkskunst beim Drahtweben (engl. wire-wrapping) werden ebenfalls Doppelwendel (engl. coiled coils) verwendet. Die folgenden Abbildungen zeigen den Herstellprozess sowie die 3D-Calculator-Grafik zum Prinzip.
(basierend auf de.wikipedia.org/wiki/Doppelhelix)
Quelle: studio73designsnb.com/creating-a-tubular-weave-wire-wrapping-with-coiled-coil/
Die Parameter der im Folgenden betrachteten Helices ℋ1 und ℋ2 haben mit u,v ∈ ℝ, v ∈ [0, 2π] folgende Bereiche und Bedeutung:
- c ∈ ℝ: Steigung von ℋ1
- r1 ∈ ℝ: Radius von ℋ1
- k ∈ ℕ: Anzahl der Windungen von ℋ2 pro 1 Windung von ℋ1
- r2 ∈ ℝ: Radius von ℋ2
- r3 ∈ ℝ: Rohrradius von ℋ2
Projektion von ℋ1 und ℋ2
auf die x/y-Ebene
█ ℋ1:
x (u) = r1∙cos(u)
y (u) = r1∙sin(u)
█ ℋ2:
r1 >> r2
x (u) = (r1 + r2∙cos(k∙u))∙cos(u)
y (u) = (r1 + r2∙cos(k∙u))∙sin(u)
Doppel-Helix
█ ℋ1:
x (u) = r1∙cos(u)
y (u) = r1∙sin(u)
z (u) = c∙u
█ ℋ2:
r1 >> r2
x (u) = (r1 + r2∙cos(k∙u)) ∙ cos(u)
y (u) = (r1 + r2∙cos(k∙u)) ∙ sin(u)
z (u) = c∙u + r2∙sin(k∙u)
Doppel-Helix, ℋ1 als Rohr
█ Spiralrohr zu ℋ1:
x (u,v) = (r1 + r2∙cos(v))∙cos(u)
y (u,v) = (r1 + r2∙cos(v))∙sin(u)
z (u,v) = r2∙sin(v) + c∙u
█ ℋ2: s. links
_______
s. auch Funktionsgraph als Rohr
ℋ1 und ℋ2 als Spiralrohre
█ Spiralrohr zu ℋ2:
r1 >> r2 >> r3
f (u,v) = r1 + (r2+r3 + r3∙sin(u)) ∙
sin(k∙v)
x (u,v) = f(u,v)∙cos(v) -
r3∙cos(u)∙sin(v)
y (u,v) = f(u,v)∙sin(v) +
r3∙cos(u)∙cos(v)
z (u,v) = (r2+r3 + r3∙sin(u)) ∙
cos(k∙v) + c∙v
Spezialfall 1: Doppel-Helix aus zwei parallelen Strängen
Die im Folgenden betrachtete Doppel-Helix besteht aus zwei sich um einander windenden einfachen Helices (auch zweigängige Schraube genannt).
In der Biochemie bezeichnet eine solche Doppel-Helix zwei parallele Stränge von Makromolekülen, die schraubenartig einander umlaufen. Das prominenteste Beispiel ist die Struktur des in allen Lebewesen vorkommenden Desoxyribonukleinsäure-Moleküls. Der Verlauf der DNA-Stränge ist hierbei zusätzlich noch gegenläufig (antiparallel). Die eigentlichen Helices werden vom Rückgrat der DNA gebildet, das aus Phosphaten und Zuckern besteht.
Quelle: de.wikipedia.org/wiki/B-DNA
Spezialfall 2: Helix auf Torus
Wählt man bei der Helix ℋ1 für den Parameter c den Wert 0, so ändert sich ℋ1 in einen Kreis bzw. einen Kreistorus, um den sich dann die Helix ℋ2 windet (s. auch Rotoide unter Parameterflächen). Die beteiligten Parameter haben mit u, v ∈ [0, 2π] folgende Bereiche und Bedeutung:
- r1 ∈ ℝ: Radius des Torus
- k ∈ ℕ: Anzahl der Windungen der Helix ℋ2
- r2 ∈ ℝ: Radius von ℋ2
- r3 ∈ ℝ: Rohrradius von ℋ2
Helix ℋ2 auf Torus
█ Torus:
c = 0
x (u,v) = (r1 + r2∙cos(v))∙cos(u)
y (u,v) = (r1 + r2∙cos(v))∙sin(u)
z (u,v) = r2∙sin(v)
█ ℋ2:
r1 >> r2
c = 0
x (u) = (r1 + r2∙cos(k∙u)) ∙ cos(u)
y (u) = (r1 + r2∙cos(k∙u)) ∙ sin(u)
z (u) = r2∙sin(k∙u)
Helix ℋ2 als Rohr auf Torus - a
█ Torus: s. links
█ Spiralrohr zu ℋ2:
r1 >> r2 >> r3
k = 12
f (u,v) = r1 + (r2+r3 + r3∙sin(u)) ∙
sin(k∙v)
x (u,v) = f(u,v)∙cos(v) -
r3∙cos(u)∙sin(v)
y (u,v) = f(u,v)∙sin(v) +
r3∙cos(u)∙cos(v)
z (u,v) = (r2+r3 + r3∙sin(u)) ∙
cos(k∙v)
Helix ℋ2 als Rohr auf Torus - b
█ Torus: s. links
█ Spiralrohr zu ℋ2: s. links
k = 8
Helix auf beliebigen Rotationskörpern
Ersetzt man den konstanten Radius r in der Parameterdarstellung der Helix durch die Randfunktion f eines Rotationskörpers, so erhält man einen spiralförmigen Verlauf auf der Oberfläche des Rotationskörpers:
Im folgenden wird noch eine "Anwendung" einer Helix auf einem beliebigen Rotationskörper betrachtet:
Auf eine Vase - Rotationskörper um die x-Achse mit der Randfunktion f (x) = -0.1 (2x³ -11x² +12x -9)
mit x ϵ
[0, 4] - soll eine farbige Helix längs der x-Achse aufgetragen werden.
Während sich die Vase um die x-Achse dreht (um dies besser erkennen zu können, sind noch zwei dunkle"Längsnähte" auf der Vase angebracht), fährt oberhalb parallel zur x-Achse eine Farbspritzdüse (grün) entlang. Hierzu müssen die Translation der Düse und die Rotation der Vase so synchronisiert werden, dass sich die Enden der Helix stets oben und unterhalb der Düse befinden:
Das rechte Bild in der obigen Galerie zeigt eine "Ziervase" mit versetzt angeordneten farbigen Spirallinien.
Das gleiche Prinzip nutzend und mit der Randfunktion f (x) = 0.2 sin ² (6x) + 0.5 mit x ϵ [0, 1.5] entsteht ein "Baumkuchen", auf den eine Helix aus "Zuckerguss" aufgetragen wird:
Das rechte Bild in der obigen Galerie zeigt einen echten Baumkuchen (Quelle: Kuchenmeister.de).