Nielsen Spirale
Die Nielsen-Spirale, auch Ci-Si-Spirale genannt, ist eine parametrische Kurve, die mit Hilfe der Integral-Sinus-Funktion Si (t) und Integral-Cosinus-Funktion Ci (t) definiert wird:
x (t) = a • Ci (t)
y (t) = a • Si (t) t > 0,
Die Nielsen Spirale ähnelt der Cornu-Spirale (Klothoide). Sie besitzt die folgenden Grenzwerte:
d.h. für große t-Werte windet sich die Spirale asymptotisch um den Punkt P (0 | π/2), während sie sich für Werte von t → 0 in Richtung –∞ asymptotisch der x-Achse nähert. In der folgenden Animation durchläuft t die Werte 1 bis 50, der grüne Balken zeigt den Wert von t an (y-Wert • 25). Die Integrale Ci(t) und Si(t) wurden mittels Graphing Calculator 3D mit der Summierten Simpson Regel für n = 30 und der unteren Grenze 1E-15 bestimmt.
Die Bogenlänge L kann in geschlossener Form berechnet werden. Es gilt (s. Länge Funktionsgraph):
Man erkennt gut, dass die Länge L der Spirale immer größer wird, je mehr sich t dem Wert 0 nähert (vgl. mit obiger Aussage zum Grenzwert).
Auch die Krümmung 𝜅 der Nielsen-Spirale lässt sich geschlossen berechnen. Die Krümmung 𝜅 einer ebenen Kurve, die durch (x(t), y(z)) parametrisiert ist, lautet [1]:
Die zweiten Ableitungen ergeben sich gemäß der Quotientenregel zu:
Daraus folgt:
Die Krümmung der Nielsen Spirale ist proportional zu t, die Krümmung der ähnlichen Klothoide ist hingegen proportional zur Länge L.