Algebraische Flächen mit Singularitäten - 2

Flächen mit A2-Singularitäten ("cusps")

Ein weiterer Typ einer Singularität ist die sog. A₂-Singularität (engl. cusp, was soviel wie "Höcker" bedeutet). Im folgenden linken Bild ist eine solche Singularität im Punkt (0 | 0 | 0) für das definierende Polynom -x² + y² + z³ = 0 zu sehen.

Legt man durch die Fläche einen Schnitt mit y = 0, so ergibt sich die orangefarbige algebraische Kurve zu
x² - y³ = 0 im rechten Bild mit einer Singularität in (0 | 0).

Wie auch bei den A₁-Singularitäten gilt hier (vgl. oben):

jedoch ist im Gegensatz zu diesen bei A₂-Singularitäten die Determinante der Hesse-Matrix im Punkt der Singularität gleich 0:

Auch die folgenden drei Flächen besitzen jeweils eine A₂-Singularität im Punkt (0 | 0 | 0).

x z + y² (x + y + z) = 0

x² + y² + z³ + 3 (x³- 3 x y²) = 0

x² y - y³ - z² + y² = 0

Die folgende Cubic mit dem definierenden Polynom f (x, y, z) = -x³ - y² z - x z² + x z = 0 besitzt sowohl eine A ₁-Singularität (Doppelpunkt) als auch eine A₂-Singularität (cusp).

Die Singularitäten liegen in P (0 | 0 | 0) und Q (0 | 0 | 1) und es gilt:

f (P) = f (Q) = 0

det 𝓗_f (P) = 0 det 𝓗_f (Q) = 2

Somit liegt in P (0 | 0 | 0) eine A2-Singularität und in Q (0 | 0 | 1) eine A1-Singularität vor.

Die beiden folgenden, durch f (x,y,z) = -z³ - (x² - 1)² + y² = 0 und g (x,y,z) = -z³ - (x² - 1)² - y² = 0 erzeugten kubischen Flächen besitzen jeweils zwei A ₂-Singularitäten in den Punkten P (1 | 0 | 0) und Q (-1 | 0 | 0).

f (x,y,z) = -z³ - (x² - 1)² + y² = 0

Kritische Punkte bestimmen,
d.h. ∇ f (x,y,z) =! 0, f (x,y,z) =! 0:

f (0,0,0) = -1 ⇒ keine Singularität, f (± 1,0,0) = 0 ⇒ Singularität P (-1 | 0 | 0), Singularität Q (1 | 0 | 0)

In P (-1 | 0 | 0) und Q (1 | 0 | 0) liegen Singularitäten. Da der niedrigste Term in z von dritter Ordnung ist (z³), handelt es sich bei deren Typ nicht um eine einfache isolierte A₁-Singularität(Doppelpunkt), sondern um eine A₂-Singularität (Cusp). Die Fläche verhält sich in der Nähe der Singularitäten wie ein lokales hyperbolisches Paraboloid (eine Sattelfläche).

g (x,y,z) = -z³ - (x² - 1)² - y² = 0

Kritische Punkte bestimmen,
d.h. ∇ g (x,y,z) =! 0, g (x,y,z) =! 0:

g (0,0,0) = -1 ⇒ keine Singularität, g (± 1,0,0) = 0 ⇒ Singularität P (-1 | 0 | 0), Singularität Q (1 | 0 | 0)

Wie auch bei der vorigen Fläche liegen in P (-1 | 0 | 0) und Q (1 | 0 | 0) A₂-Singularitäten. Die Fläche hat in diesen Punkten jeweils ein Maximum. Die horizontalen Querschnitte bilden geschlossene algebraische Kurven, die mathematisch eng mit Ellipsen verwandt sind. Es ist quasi eine "doppelte, deformierte Ellipse", die in die Tiefe (negative z-Richtung) wächst.

Eine Abwandlung der Caley Cubic zeigt das folgende Beispiel mit dem definierenden Polynom

und drei Cusps an den Stellen (-1 | 0 | 0), (½ | 1 | 0) und (-½ | 1 | 0).

So ergibt sich z.B. für den Punkt (-1 | 0 | 0) folgender Nachweis einer A₂-Singularität:

daraus folgt: (-1 | 0 | 0) ist eine A₂-Singularität (cusp).

Die folgende Cubic mit dem definierenden Polynom

x y z = k (x + y + z - a)³

besitzt 3 Cusps und wurde bereits im Jahr 1869 vom deutschen Mathematiker Olaus Henrici (1840 - 1919) untersucht.

Für die Beispielfläche wurde k = 0.1 und a = 5 gewählt.

Die folgenden beiden Flächen stellen auch "Weltrekorde" dar. Oliver Labs konstruierte in 2005 eine Quintic mit 15 cusps (es ist nachgewiesen, dass eine Quintic maximal 20 cusps haben kann), Wolf Barth konstruierte eine Sextic mit 30 reellen cusps (36 komplexe cusps).

Labs Quintic (15 cusps)

Barth Sextic (30 relle cusps)

Die folgende Tabelle stammt aus der Publikation A Sextic with 35 Cusps von Oliver Labs aus 2005. Sie zeigt die bekannten Einschränkungen für die Anzahl µ_A2 der A2-Singularitäten (cusps) in Abhängigkeit vom Grad des definierenden Polynoms.

Grad	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	d
µ_A2 ≤	0	3	8	20	37	62	98	127 *	202	275	363	¼ d (d-1)²
µ_A2 ≥	0	3	8	15	35	52	70	127	159	225	320 **	≈ 2/9 d³

* J. G. Escudero (2014) Hypersurfaces with many Aj-singularities: Explicit constructions, Journal of Computational and Applied
Mathematics 259 (2014), 87–94, http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2013.03.045

** C. Bonnaffè (2025) A DODECIC SURFACE WITH 320 CUSPS, https://doi.org/10.48550/arXiv.2511.01322

Algebraische Flächen mit Singularitäten - Tabelle der Funktionen und Parameter

Fläche

Funktion

x

y

z

Henrici Surface

(3 cusps)

k = 0.1

a = 5

x y z = k (x + y + z - a)³

3 neunfache reelle Geraden: (t, a-t, 0), (a-t, 0, t), (0, t, a-t)

-8

:

8

-8

:

8

-8

:

8

Labs
Quintic
(15 cusps)

x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4-3*z^5-5*x^4-10*x^2*y^2-5*y^4+10*z^3+20*x^2+20*y^2-15*z-24 = 0

x^2+y^2+z^2<=36

-6

:

6

-6

:

6

-6

:

6

Barth
Sextic
(30 cusps)

a=1

4*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*x^2-y^2)*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*y^2-z^2)*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*z^2-x^2)-
(1+2*(a*(1+sqrt(5))/2))*(x^2+y^2+z^2-1)^3 = 0

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

Quellen

https://imaginary.org/gallery/oliver-labs
https://imaginary.org/program/surfer
O. Labs (2005) A Sextic with 35 Cusps,
https://www.researchgate.net/publication/2118063_A_Sextic_with_35_Cusps
Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, https://mathcurve.com/
J. G. Escudero (2014) Hypersurfaces with many Aj-singularities: Explicit constructions,
Journal of Computational and Applied Mathematics 259 (2014), 87–94,
http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2013.03.045
C. Bonnaffè (2025) A DODECIC SURFACE WITH 320 CUSPS, https://doi.org/10.48550/arXiv.2511.01322