3D Spiralen - 1
Als Spiralen im engeren Sinn bezeichnet man in der Mathematik ebene Kurven, die aus unendlichen vielen Windungen um einen festen Punkt bestehen und aus höchstens zwei Ästen mit streng monotonem Zusammenhang zwischen Drehwinkel und Radius zusammen-gesetzt sind.
Sie kommen in der Natur, der Technik, Architektur und Kunst praktisch eines jeden Kulturkreises und jeder Epoche vor [1].
3D Spiralen - 1
- Helix
- Helix auf Hyperboloid I
- Helix auf Hyperboloid II
- Helix auf Katenoid
- Helix auf Helix (Doppelhelix)
- Helix auf bel. Rotationskörper
Auf dieser Seite liegt der Focus auf räumlichen Spiralen. Neben einigen Beispielen aus Natur / Technik werden für jeden betrachteten Spiraltyp die folgenden fünf Spiral-Objekte dargestellt:
Die Funktion f (t) mit f : Df → ℝ, Df
⊆ ℝ ist die
Grundfunktion für den jeweiligen Spiraltyp; gleichzeitig dient sie als Randfunktion f (z) des zugehörigen Rotationskörpers, der alternativ auch mit
der Gleichung
x² + y² = [ f(z) ]² erzeugt werden kann.
In 3D Spiralen - 2 wird die Helix (Schraubenlinie) zunächst in ihrer zylindrischen Grundform betrachtet. Daran schließen sich Projektionen einer Helix auf nicht-zylindrische Grundkörper an.
Konische Spirale
Die Basis für die konische Spirale ist die Archimedische Spirale (s. Beispiele rechts). Bei ihr wächst entsprechend dem Proportio-nalitätsfaktor a der Radius ρ proportional mit dem Polarwinkel θ an, so dass der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Windungen konstant bleibt.
Grundfunktion: f (t) = b + a / c ∙ t
Parameter: a, b, c, r, u, θ ∈ ℝ \ {0}
Bereiche bei Grafiken: b = 0, a, c, r, u > 0
Quellen:
www.Schallplatten-Junkies.de
www.seiletech.de
www.precision-engineering.ch
Archimedische Spirale
Konische Spirale
Kegel
konisches Helicoid
Konische Spirale als Rohr
Quelle: www.Hilti.de
3D Galileo-Spirale
Bei der Galileo-Spirale wächst der Radius ρ quadratisch mit dem Polarwinkel θ an. Sie ähnelt einer Logarithmischen Spirale, jedoch wächst bei letzterer der Radius exponentiell (s. u.).
Ein Beispiel aus der Natur ist der eingerollte Schwanz eines Chamäleons.
Grundfunktion: f (t) = a ∙ (t / c)²
Parameter: a, r, u, θ ∈ ℝ , c ∈ ℝ \ {0}
Bereiche bei Grafiken: a, c, r, u, θ > 0
Quelle: www.terraristikshop.net
Galileo-Spirale
3D Galileo-Spirale
Rotationskörper zur
3D Galileo-Spirale
Galileo-Helicoid
3D Galileo-Spirale als Rohr
Paraboloide Spirale
Die Paraboloide Spirale entsteht aus der Fermat-Spirale. Bei dieser nimmt der Windungsabstand mit wachsender Entfernung zum Pol ab. Charakteristisch ist auch die stark gekrümmte erste Windung.
Grundfunktion: f (t) = a ∙ √ (t / c)
Parameter: a, r, u, θ ∈ ℝ , c ∈ ℝ \ {0}
Bereiche bei Grafiken: a, c, r, u, θ > 0
Fermat-Spirale
Paraboloide Spirale
Rotationsparaboloid
parabolisches Helicoid
Paraboloide Spirale als Rohr
3D Hyperbolische Spirale
Bei der hyperbolischen Spirale hängen ρ und θ umgekehrt proportional zusammen. Sie umrundet ihren Pol in unzähligen, immer enger werdenden Windungen, erreicht ihn jedoch nie.
Eine scheinbar "hyperbolische Spirale" entsteht als optische Täuschung, wenn man senkrecht von oben durch die Mitte einer Wendeltreppe blickt. Diese bildet im dreidimensionalen Raum eine Helix, das Auge erzeugt in der Zentralprojektion jedoch eine zweidimensionale hyperbolische Spirale.
Grundfunktion: f (t) = a ∙ c / t
Parameter: a, c, r ∈ ℝ, u, θ ∈ ℝ \ {0}
Bereiche bei Grafiken: a, c, r, u, θ > 0
Hyperbolische Spirale
3D Hyperbolische Spirale
Rotationshyperboloid
hyperbolisches Helicoid
Hyperbolische Spirale als Rohr
3D Lituus-Spirale
Die Lituus-Spirale (s. Grafik rechts) verdankt ihren Namen der Ähnlichkeit mit einem Bischofsstab. Bei ihr ist der Winkel θ umgekehrt proportional zum Quadrat des Radius ρ. Auch sie umrundet ihren Pol, ohne ihn jemals zu erreichen, während ihr äußerer Ast sich asymptotisch der x-Achse nähert.
Grundfunktion: f (t) = a ∙ √ (c / t)
Parameter: r, c ∈ ℝ, u, θ ∈ ℝ \ {0}
Bereich bei Grafiken: a, c, r, u, θ > 0
Lituus-Spirale
3D Lituus-Spirale
Rotationskörper zur
3D Lituus-Spiral
Lituus-Helicoid
3D Lituus-Spirale als Rohr
3D Logarithmische Spirale
Die logarithmische Spirale unterscheidet sich deutlich von den bisher aufgeführten Spiralen. Ihr Radius ρ wächst exponentiell mit dem Polarwinkel θ bzw. der Polarwinkel hängt logarithmisch vom Radius ab. Auch ihr Pol ist ein asymptotischer Punkt.
Weinbergschnecke
Quelle: wikipedia.de
Tiefdruck-System über Grönland
Quelle: visibleearth.nasa.gov
Spiral Galaxy NGC 1232
Quelle: apod.nasa.gov
Mit der 3D Logarithmischen Spirale können z.B. Schnecken oder Meeresschnecken modelliert werden.
Grundfunktion: f (t) = a ∙ eb/c ∙ t
Parameter: a, r, u, θ ∈ ℝ , c ∈ ℝ \ {0}
Bereich bei Grafiken: a, c, r, u, θ > 0
Logarithmische Spirale
3D Logarithmische Spirale
Rotationskörper zur 3D Logarithmischen Spirale
logarithmisches Helicoid
3D Logarithmische Spirale
als Rohr
Kugelspirale
Eine weitere 3D Spirale ist die Kugelspirale. Diese windet sich entlang der Oberfläche einer Kugel, die sich z.B. aus der impliziten Gleichung x² + y² + z² = r² ergibt, wobei r der Radius der Kugel ist. Für die Kugelspirale gilt mit u ϵ [-r, r] :
Die Projektion einer Kugelspirale in die x/y-Ebene erzeugt eine Clelia-Kurve [2]. In den folgenden Galerien sind für einige Werte von c die entstehende Kugelspiralen (gelb) und die korrespondierende Cliela-Kurven (grün) dargestellt.
Die folgende Animation zeigt die entstehenden Clelia-Kurven, wenn c die Werte von 1 bis 0.05 durchläuft.
Hier sei noch angemerkt, dass man die Kugelspirale nicht mit der Loxodrome verwechseln darf. Diese letztere Spirale zeichnet sich dadurch aus, dass sie die Meridiane der Kugel stets im gleichen Winkel schneidet (s. dazu auch Loxodrome). Zum Vergleich sind in den folgenden beiden Grafiken beide Spiralarten dargestellt.
Abschließend sind für c = 1, ½ und ¼ die korrespondierenden sphärischen Helicoide dargestellt.
Quellenverweise
[1] J. Heitzer (2002) Mathe-Welt "Spiralen", mathematik lehren, 111, S. 23-46,
http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-13633