3D Spiralen - 1

Auf dieser Seite liegt der Focus auf räumlichen Spiralen. Neben einigen Beispielen aus Natur / Technik werden für jeden betrachteten Spiraltyp die folgenden fünf Spiral-Objekte dargestellt:

Die Funktion f (t) mit f : D_f → ℝ,  D_f ⊆ ℝ ist die Grundfunktion für den jeweiligen Spiraltyp; gleichzeitig dient sie als Randfunktion f (z) des zugehörigen Rotationskörpers, der alternativ auch mit der Gleichung
x² + y² = [ f(z) ]² erzeugt werden kann. 

In 3D Spiralen - 2 wird die Helix (Schraubenlinie) zunächst in ihrer zylindrischen Grundform betrachtet. Daran schließen sich Projektionen einer Helix auf nicht-zylindrische Grundkörper an.  

Die Paraboloide Spirale entsteht aus der Fermat-Spirale [4]. Bei dieser nimmt der Windungsabstand mit wachsender Entfernung zum Pol ab. Charakteristisch ist auch die stark gekrümmte erste Windung.

Grundfunktion:  f (t) = a ∙ √ (t / c) 

Parameter:        a, r, u, θ ∈ ℝ ,  c ∈ ℝ \ {0}

Bereiche bei Grafiken:  a, c, r, u, θ > 0

Die logarithmische Spirale [7] unterscheidet sich deutlich von den bisher aufgeführten Spiralen. Ihr Radius ρ wächst exponentiell mit dem Polarwinkel θ bzw. der Polarwinkel hängt logarithmisch vom Radius ab. Auch ihr Pol ist ein asymptotischer Punkt.

Mit der 3D Logarithmischen Spirale können z.B. Schnecken oder  Meeresschnecken modelliert werden.

Grundfunktion:  f (t) = a ∙ e^{b/c ∙ t}

Parameter:        a, r, u, θ ∈ ℝ , c ∈ ℝ \ {0}

Bereich bei Grafiken: a, c, r, u, θ > 0    

Die folgende Animation zeigt die entstehenden Clelia-Kurven, wenn c die Werte von 1 bis 0.05 durchläuft.

Hier sei noch angemerkt, dass man die Kugelspirale nicht mit der Loxodrome verwechseln darf. Diese letztere Spirale zeichnet sich dadurch aus, dass sie die Meridiane der Kugel stets im gleichen Winkel schneidet (s. dazu auch Loxodrome). Zum Vergleich sind in den folgenden beiden Grafiken beide Spiralarten dargestellt. 

Abschließend sind für c = 1, ½ und ¼ die korrespondierenden sphärischen Helicoide dargestellt.

Die "klassische" (2D) Fibonacci-Spirale besteht aus aneinander gesetzten Halbkreisen mit wachsenden Radien, wobei der Radius des n-ten Halbkreises dem n-ten Element der Fibonacci-Folge 
(ℱ_n) = (0, 1, 1, 2, 3, 5,8, ...) mit n ∈ ℕ₀ entspricht (s. Quasi-Spiralen).  Bei jeder Vierteldrehung weitet sich die Spirale um den Faktor Φ (Goldene Zahl). Im Folgenden wird nun eine Kurve konstruiert, die die diskrete Fibonacci-Folge über die Moivre-Binet-Formel als kontinuierliche Spirale in den dreidimensionalen Raum fortsetzt (daher könnte man die Kurve auch kontinuierliche 3D Moivre-Binet-Spirale nennen.)

Ausgehend von der Moivre-Binet-Formel

und ihrer algebraischen Fortsetzung in die reellen Zahlen f (x) , wird diese zunächst mittels der Eulerschen Formel umgeformt in (s. dazu Komplexe Fibonacci-Folgen):

Real- und Imaginärteil werden zu einer parametrischen Funktion 𝒮 (u) – der 3D Fibonacci-Spirale – ergänzt:

Bei 𝒮  handelt es sich um eine 3D-Spirale, die sich um eine exponentiell ansteigende "Achse" 
𝒜 (u) = (u, Φ^u/√5, 0)^T  windet. Hierbei ist der Parameter u entlang der Hauptachse (x-Achse) für das Rotieren und Schrumpfen der Spirale verantwortlich. 

Quelle: rabbifolger.net

Für ganzzahlige u schneidet 𝒮 (u) die x/y-Ebene derart, dass die y-Komponente der Schnittpunkte die jeweilige Fibonacci-Zahl ℱ_n ist (s. folgende linke Abbildung). Für u∈ℝ und z = 0 entsteht in der x/y-Ebene eine Funktion, die A. Stakhov in [3] als QSFF (Quasi-Sinus-Fibonacci-Funktion, Gleichung 5.93 auf S. 287) definiert, und durch all die zuvor erläuterten Punkte verläuft (s. folgende Abbildungen).

Das Bildungsgesetz der Fibonacci-Zahlen mit ℱ_{n+2 =} ℱ_n+1 + ℱ_n gilt übertragen auch für die kontinuierliche 3D Fibonacci-Spirale: 𝒮 (x+2) = 𝒮 (x+1) + 𝒮 (x).

Der Beweis basiert auf der, auf die reellen Zahlen erweiterte, Moivre-Binet-Formel (s.  Komplexe Fibonacci-Folgen):

Die konstruierte 3D Fibonacci-Spirale 𝒮 ist, wie die bisher auf dieser Seite betrachteten Spiralen, ein eindimensionaler Faden. Um die Einhüllende Ɛ (x) dieser Spirale (quasi die "Haut", entspricht dem Rotationskörper bei den Spiralen weiter oben auf der Seite) zu konstruieren, muss der Raum beschrieben werden, den diese Geometrie maximal aufspannt.

Mit v = 0 bzw. v = π erhält man den extremen oberen Rand r̄ (u), den extremen unteren Rand r (u) der trichterförmigen Einhüllenden Ɛ sowie ihren Durchmesser in der x/y-Ebene:

Da sich die Spirale um den Mittelpunkt M (u) mit dem Radius r (u) dreht, erhält man eine glatte Außenhaut, indem man einen neuen, unabhängigen Winkel-Parameter v einführt, der mit v ∈ [0, 2π] die "Lücken" zwischen den Windungen auffüllt und somit eine geschlossene 2D-Fläche im 3D-Raum erzeugt:

Für u→∞ geht Φ^-u und somit der Durchmesser d(u) gegen Null. Ɛ kollabiert dann zu einer unendlich dünnen Nadel, die sich der exponentiellen "Achse" 𝒜 (u) = (u, Φ^u/√5, 0)^T in der Ebene asymptotisch nähert. Für negative u kehrt sich das Ganze um: Φ^u wird winzig, Φ^-u hingegen riesig, und es entsteht im negativen Bereich eine gigantische Trompete:

Das trichterförmige Objekt Ɛ nennt der A. Stakhov in [3] Schofar - ein aus dem Horn eines Widders hergestelltes traditionelles jüdisches Blasinstrument. Die Form eines Jagdhorns trifft es wohl besser, wenngleich der Begriff "Jagdhorn" kein universeller, sprachenunabhängiger Eigenname ist...

Quellenverweise

[1]   J. Heitzer (2002) Mathe-Welt "Spiralen", mathematik lehren, 111, S. 23-46, 
       http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-13633

[2]   https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale

[3]   https://mathcurve.com/courbes2d.gb/galilee/galilee.shtml

[4]   https://mathworld.wolfram.com/FermatsSpiral.html

[5]   https://mathcurve.com/courbes2d/hyperbolic/hyperbolic.shtml

[6]   https://mathworld.wolfram.com/Lituus.html

[7]   https://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html

[8]   https://de.wikipedia.org/wiki/Clelia-Kurve

[9]   A. Stakhov (2009) The Mathematics of Harmony, World Scientific Publishing Co., Inc., United States,
       ISBN: 978-981-277-582-5 (748 Seiten)