Squircle

Squircle ist ein Kunstwort aus den Wörtern Square (Quadrat) und Circle (Kreis) und steht für eine Form "zwischen einem Quadrat und einem Kreis". Squircle findet man desöfteren im Produktdesign, dazu hier ein paar Beispiele:

Für das Squircle existieren mehrere, sehr verschiedenartige Definitionen, von denen einige auf dieser Seite näher betrachtet werden. Obwohl die Gleichungen für diese Kurven sehr unterschiedlich sind, weisen die dargestellten Squircle-Formen eine verblüffende Ähnlichkeit auf.

Squircle auf Basis einer Superellipse

Diese erste Definition des Squircle basiert auf einer Lamé-Kurve, auch Superellipse genannt [1], [2]:

(s. dazu auch Erläuterungen und Animation zur Lamé-Kurve bei Piet Hein's Super-Ei).

Mit r = r_a = r_bentsteht für p = 2 ein Kreis mit Radius r. Für p → ∞ ergibt die Gleichung ein Quadrat mit der Seitenlänge 2r. Dazwischen ergeben sich glatte, ebene Kurven, die sowohl Kreis- als auch Quadratmerkmale aufweisen (s. folgende Abbildung).

Das Squircle (s. Abbildung rechts) ist die Superellipse für den Fall p = 4:

Für a = b = 0 und r = 1 nennt man die Form auch Spezielle Lamé Quartic [3].

Auch für den Bereich für p ∈ [1, 2] ist die resultierende Lamé-Kurve ein Squircle. Für p = 1 ergibt sich ein um 45° geneigtes Quadrat mit der Seitenlänge r√2, für p = 2 ergibt sich ein Kreis mit Radius r. Diese Lamé-Squircle mit p ∈ [1, 2] sind algebraisch einfacher als das die mit p > 2, da ihr Exponent nicht unendlich groß ist. Allerdings werden um 45° geneigte Formen erzeugt, was es für manche Anwendungen weniger attraktiv macht.

Squircle: Lamé's Special Quartic mit a=b=0, r=1, n=4

Fernández-Guasti Squircle

Eine völlig andere Definition eines Squircle, im Folgenden FG-Squircle genannt, entstammt Arbeiten auf dem Gebiet der Optik [4]. Manuel Fernandez-Guasti leitete die Gleichung für sein Squircle her, indem er zunächst beobachtete, dass man ein Quadrat im kartesischen Koordinatensystem durch das Produkt zweier Binomialwurzelterme darstellen kann [5]:

Die Lösungen dieser Gleichung

x = ± r ∀ y und y = ± r ∀ x

stellen zwei zur y-Achse parallele Geraden, die die x-Achse bei ± r schneiden, sowie zwei zur x-Achse parallele Geraden, die die y-Achse bei ± r schneiden, dar (s. Abbildung rechts).

Mit der Bedingung -r ≤ x ≤ r und -r ≤ y ≤ r werden die unendlich langen Geraden auf die Seiten eines Quadrats mit der Seitenlänge 2r beschränkt (Quadrat aus dicken Linien in der Abbildung rechts).

Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen der Terme ergibt sich ein Polynom vierten Grades, dessen Graph für -r ≤ x ≤ r und -r ≤ y ≤ r ein Quadrat darstellt:

Weiterhin führte Fernández-Guasti einen "Quadratizitäs"-Parameter"s in die Gleichung ein, so dass Formen erzeugt werden können, die "zwischen" Quadrat und Kreis liegen:

Die folgende Abbildungen zeigen einige FG-Squircle mit s zwischen 0 und 1.

Obwohl das FG-Squircle qualitative Ähnlichkeiten mit der Lamé-Kurve für p∈[2, ∞[ aufweist, besteht ein wesentlicher Unterschied zwischen beiden: die Lamé-Kurve kann das Quadrat nur approximieren. Um es vollständig zu erzeugen, ist ein unendlicher Exponent erforderlich. Da die Polynomgleichung für die Lamé-Kurve unbeschränkte Exponenten besitzt, ist sie zudem unhandlich und algebraisch schwer zu manipulieren.

FG-Squircle ohne einschränkende Bedingung

Im Folgenden liegt der Focus beim FG-Squircle zwar auf dem Bereich -r ≤ x ≤ r und -r ≤ y ≤ r, jedoch liefert seine Gleichung vierten Grades ohne diese einschränkende Bedingung zusätzlich zum zentralen Squircle-Kern auch Kurvenabschnitte außerhalb dieses Bereichs, nämlich vier ihn umgebende, disjunkte, unendliche Komponenten (sog. Loben) in den vier Quadranten.

Lage und Ausdehnung der vier Loben hängen vom Parameter s ab (s. folgende Abbildung und Animation):

s = 0:
Der FG-Squircle reduziert sich auf einen Kreis, die Loben sind praktisch unendlich weit entfernt,
d. h. nicht mehr vorhanden.
s > 0:
Jeder der vier Loben erscheint in endlicher Entfernung vom Kern des Squircle;
mit zunehmendem s rücken sie immer näher an den Kern heran.
s = 1:
Die Loben berühren den Kern, die fünf disjunkten algebraischen Komponenten vereinen sich zu einer zusammenhängenden Kurve mit vier Singularitäten.

FG-Squircle, s∈[0, 1], ohne Beschränkung für x,y

Linearisierter Übergang Kreis - Quadrat

Es zeigt sich, dass mit dem Quadratizitäs-Parameter s und seinem Bereich [0, 1] eine nichtlineare Überblendung zwischen Kreis und Quadrat stattfindet. So ähnelt die Form für s = 0.5 noch dem Kreis und weist erst in den letzten 10% seines Bereichs quadratische Züge auf (s. Animation rechts).

Daher soll ein Parameter t für eine linearisierte Überblendung von Kreis und Quadrat eingeführt werden. Hierzu betrachte man einen Eckpunkt des Quadrats, z.B. (r | r) und den korrespondierenden Punkt auf dem Kreis (½√2 r | ½√2 r ). Die Strecke zwischen diesen beiden Punkten soll linear mit dem Parameter t für t ∈ [0, 1 interpoliert werden, was zu folgenden beiden Gleichungen führt:

Squircle: nichtlineare Überblendung zwischen Kreis und Quadrat

Aus der Gleichung des FG-Squircle wird s extrahiert:

Die Interpolationsgleichungen für (x, y) werden eingesetzt:

Somit ergibt sich die Gleichung für das FG-Squircle mit linearer Überblendung (s. Animation rechts):

Der Wert t = 0.5 liefert die Form des FG-Squircle, der genau mittig zwischen Kreis und Quadrat liegt (s. folgende Abbildung). Für s ergibt sich in diesem Fall: s ≈ 0.927998872..

FG-Squircle mittig zwischen Kreis und Quadrat

Squircle: lineare Überblendung zwischen Kreis und Quadrat

Periodischer Squircle

Eine anderer Typ eines Squircle basiert auf einer impliziten Gleichung mit trigonometrischen Funktionen [6]:

Er ist zweifach-periodisch in der kartesische Ebene und wird daher Periodisches Squircle genannt.

Für s = 1 ergibt sie ein Quadrat mit der Seitenlänge 2r. Für kleiner als 1 werdende Werte für s beschreibt sie eine glatte, ebene Kurve, die zunehmend Kreismerkmale aufweist und schließlich im Grenzwert für s → 0 einen Kreis darstellt (für s = 0 ist die Gleichung entartet: 1 = 1 und kann daher nicht grafisch dargestellt werden).

Die zuvor dargestellten Periodischen Squircle befinden sich in einem Bereich nahe dem Ursprung, wo -r ≤ x ≤ r und -r ≤ y ≤ r gilt. Die implizite Gleichung erzeugt jedoch auch Punkte außerhalb dieses betrachteten Bereichs. Da diese Form in der kartesischen Ebene doppelt periodisch ist, wiederholt sie sich unendlich oft entlang der x- und y-Achse. Für s = 1 verbinden sich die Periodischen Squircle zu einem unendlichen quadratischen Gitter (s. Animation rechts).

Periodisches Squircle, s∈]0, 1] ohne Beschränkung für x,y

Schräges Squircle

Ein weiterer Typ von Squircle, ebenfalls doppelt periodisch in der kartesischen Ebene, ist das Schräge Squircle mit der impliziten Gleichung

Für s = 1 ergibt die Gleichung ein Quadrat mit der Seitenlänge r√2. Für s-Werte kleiner als 1 entstehen glatte, ebene Kurven als Mischung aus Quadrat und Kreis, die im Grenzfall für s → 0 einen Kreis mit Radius r darstellen (für s = 0 ergibt sich die entartete Gleichung 2 = 2). Das Quadrat für s = 1 ist um 45° geneigt ist. Das Schräge Squircle weist eine starke Ähnlichkeit mit den Lamé-Kurven (p ∈ [1, 2]) auf (s.o.).

Wie das Periodische Squircle liefert auch die Gleichung des Schrägen Squircle Punkte außerhalb von -r ≤ x ≤ r und -r ≤ y ≤ r. Auf Grund der doppelten Periodizität wiederholt sich die Squircle-Form unendlich oft entlang der x- und y-Achse (s. Animation rechts). Für s = 1 verbinden sich die schrägen Quadrate zu einem geneigten Gitter.

Schräges Squircle, s∈]0, 1] ohne Beschränkung für x,y

Frantz-Squircle

Einen weiteren Typ von Squircle stellte M. Frantz 2018 vor [6]. Sein Squircle verwendet parametrische Gleichungen anstelle einer impliziten Gleichung, die x und y in der kartesischen Ebene verknüpft:

Im Grenzfall für s → 0 (für s = 0 sind die Terme nicht definiert) ergibt sich ein Kreis mit Radius r, für s → ∞ ergibt sich ein Quadrat mit der Seitenlänge 2r. Dazwischen erzeugt die parametrische Gleichung eine glatte, ebene Kurve, die eine Mischform aus Kreis und Quadrat darstellt.

Anmerkung: Den "Trick" mit der "Rechteckigmachung" trigonometrischer Funktionen hatte auch ich seinerzeit beim Entwurf zum 3D Zahnrad verwendet, um die Zahnflanken steiler zu machen.

Quellenverweise

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Superellipse

[2] https://mathcurve.com/courbes2d.gb/lame/lame.shtml

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9%27s_special_quartic

[4] M. Fernandez-Guasti (1992) Analytic geometry of some rectilinear figures,
International Journal of Mathematical. Education in Science and Technology. 23, pp. 895-901

[5] M. Fernandez-Guasti, A. Covarrubias, F. Carrillo, A. Rodriguez (2005)
LCD pixel shape and far-field diffraction patterns, Optik - International Journal for Light and Electron
Optics, Volume 116, Issue 6, pp. 265-269

[6] C. Fong (2022) Visualizing Squircular Implicit Surfaces, DOI:10.48550/arXiv.2210.15232

[7] M. Frantz (2018) Save This Family! An Instructive Sequence of Curves, Mathematics Magazine,
Vol. 91, No. 4, October 2018