Wendbare Flächen

Mit dem Minuszeichen vertauscht die halbe Drehung die beiden Flächenseiten; setzt man die Achse der halben Drehung gleich der Geraden x = y und z = 0 (rot in nebenstehender Animation), so erhält man eine allgemeine implizite Gleichung dieser Flächen:

f (x, y, z) = 0 mit f (y, x, -z) = - f (x, y, z).

Das einfachste Beispiel hierfür ist die Ebene z = 0.

Im Folgenden habe ich einige Beispiele solch wendbarer Flächen zusammengestellt. Die halbe Drehung um die Gerade x = y wurde durch die gleichzeitige halbe Drehung um die x-Achse und Vierteldrehung um die z-Achse realisiert (s. auch 3D Rotation um Koordinatenachsen). 

z = x² – y²                                [1]

x y z = 0

x y z = x² – y²

z (z² – 1) = x² – y²

z (x² + y²) = 2 a x y                 [10]

z (x² + y²) = x² – y²                   [2]

z (x² + y²) = x³                          [4]

z (x² + y² + z² – 1) = x² – y²      [5]

16 z⁵ – 20 z³ + 5 z + x⁵ – 10 x³ y² + 5 x y⁴ = 0

z - a ∙ cos (n ∙ θ) = 0

a = 1.5, n = 3

 Affensattel                               [7]

 a^n-1 z =  rⁿ cos (n ∙ θ)    a=2, n=3

Für n = 2 ergibt sich ein hyperbolisches Paraboloid (s.o.).

z - r ∙ cos (n ∙ θ) = 0                  [8]

a = 2, n = 3, 4

z ( r² + z² - a² ) = a r² cos (n ∙ θ)

a = 2, n = 2                               [9]

z ( r² + z² - a² ) = a r² cos (3 ∙ θ)

a = 2, n = 3

a = 2, n = 4