Sattelflächen

• Nachweis, dass bei (0 | 0| 0) ein kritischer Punkt liegt: ∇ f (0, 0) = ! (0, 0)

   f (0, 0) = 0² - 0² = 0   ⇒  (0 | 0| 0) liegt auf der Fläche

•  Bestimmung des Typs mit der Hesse-Matrix H_f und Gauß'schen Krümmung K

   Da die Gauß'sche Krümmung im Punkt (0 | 0 | 0) kleiner als Null ist, liegt dort ein
   Sattelpunkt, in dem sich zwei Höhenlinien schneiden [1].

Alle anderen Punkte der Fläche haben einen Gradienten ungleich Null und sind daher gewöhnliche Punkte ohne stationäre Eigenschaften. Da für sie stets K < 0 gilt, sind alle Punkte der Fläche hyperbolische Punkte; die Fläche weist lokal eine sattelartige Struktur auf, d.h. für einen beliebigen Punkt und einer ausreichend kleinen Umgebung ähnelt die Fläche dort einem Sattel. 

• Bestimmung des Charakters mit der Hesse-Matrix H_f und Gauß'schen Krümmung K 

   Im Punkt (0 |0 | 0) ist K = 0, somit liegt hier ein stationärer Punkt vor, an dem die Funktion weder ein
   lokales Maximum noch Minimum aufweist, sondern eine Art flache Ebene bildet: es handelt sich um
   einen Flachpunkt / Terrassenpunkt [1].

Alle anderen Punkte des Affensattels sind hyperbolische Punkte, da stets K < 0 gilt und somit in einer ausreichend kleinen Umgebung eines jeden Punktes die Fläche einem Sattel ähnelt.

Betrachtet man die bisher betrachteten Sattelflächen in Zylinderkoordinaten, so sind die ersten beiden (Hyperbolisches Paraboloid mit n = 2, Affensattel mit n = 3) Mitglieder einer Familie von Sattelflächen:

f_n (r, Θ) = rⁿ cos (n∙Θ).

Jede dieser Flächen für n > 3 hat bezüglich der Eigenschaften der Flächenpunkte die gleichen wie der Affensattel. Für den Nachweis wird die Gauß'sche Krümmung für Funktionen in Zylinderkoordinaten benötigt. Sie ergibt sich nach längerer, aufwendiger Rechnung:

• Parametrisierung der Fläche (Umwandlung in kartesische Koordinaten)
  𝑃(𝑟,𝜃)=(𝑟cos(𝜃), 𝑟sin(𝜃), 𝑟^𝑛cos(𝑛𝜃))
• Berechnung der ersten Fundamentalform (E, F, G)
• • Berechnen der partiellen Ableitungen
  • 𝑃_𝑟=(cos(𝜃), sin(𝜃), 𝑛𝑟^𝑛−1cos(𝑛𝜃)), 𝑃_𝜃=(−𝑟 sin(𝜃), 𝑟 cos(𝜃), −𝑛𝑟^𝑛 sin(𝑛𝜃))
  • Berechnen der Koeffizienten:  𝐸=𝑃_𝑟⋅𝑃_𝑟   𝐹=𝑃_𝑟⋅𝑃_𝜃   𝐺=𝑃_𝜃⋅𝑃_𝜃
• Berechnung der zweiten Fundamentalform (L, M, N)
• • Berechnen des Einheitsnormalenvektors N = 𝑃_𝑟 x 𝑃_𝜃 / | 𝑃_𝑟 x 𝑃_𝜃 |  
  • Berechnen der zweiten partiellen Ableitungen 𝑃_𝑟𝑟, 𝑃_𝑟𝜃, 𝑃_𝜃𝜃
  • Berechnen der Koeffizienten 𝐿=𝑃_𝑟𝑟⋅𝑁, 𝑀=𝑃_𝑟𝜃⋅𝑁, 𝑁=𝑃_𝜃𝜃⋅𝑁
• Berechnung der Gaußschen Krümmung K = (LN – M²) / (EG – F²)

schließlich zu

Für jede Fläche mit n > 3 gilt daher:

• Für r = 0, also im Punkt (0 | 0 | 0) ist K = 0, dort liegt ein Flachpunkt.
• Für r > 0 ist K < 0, d.h. alle Punkte der Fläche sind hyperbolische Punkte.

Folgt man der Idee, die Sattelfläche nach anatomischen Gesichtspunkten bezüglich des Reiters zu bezeichnen, so liegt es nahe, die Sattelfläche mit n = 5 als "Seestern-Sattel" (engl. starfish saddle) und mit
n = 8 als "Oktopus-Sattel" zu bezeichnen [3].

Im Folgenden soll die Steigung (engl. slope) der Sattelfläche f_n (r, Θ) = rⁿ cos(n∙Θ) bestimmt werden. Diese ist der Betrag des Gradienten von f_n.

Da die Einheitsvektoren orthogonal sind, gilt √[cos²(nΘ)+(-sin(nΘ))²] = 1. 

Somit gilt für die Steigung:  | ∇ f | = n r ^n-1.

Der Betrag der Steigung hängt also einzig und allein vom Abstand r zum Ursprung des Koordinatensystems ab. Dort haben die Sattelflächen einen Sattelpunkt mit | ∇ f | = 0.

Beim linken Bild in der folgenden Galerie habe ich für die Sattelfläche mit n = 2 (Hyperbolisches Paraboloid) das Gradientenfeld berechnet. Die Einfärbung in der Grafik gibt den Funktionswert (Höhe z) wieder. Die Vektoren fließen von den Tälern (y-Richtung) weg und hin zu den Bergen (x-Richtung). Da | ∇ f | = 2 r ist, wächst die Länge der Pfeile linear mit dem Abstand zum Zentrum (Ursprung). 

Das rechte Bild zeigt das Gradientenfeld für den Affensattel, das eine dreizählige Symmetrie aufweist mit Vektoren, deren Länge im Quadrat zum Abstand vom Ursprung ansteigt (| ∇ f | = 3 r² ).

Die in Zylinderkoordinaten vorliegende Gleichung zur Erzeugung der zuvor betrachteten Sattelflächen

f_n (r, Θ) = rⁿ cos (n∙Θ)

soll im Folgenden in kartesische Koordinaten umgeformt werden. Effizienterweise erfolgt dies über die Eulersche Formel und komplexe Zahlen.

z = x + i y = r (cos (Θ) + i sin(Θ))

zⁿ = rⁿ (cos (n Θ) + i sin(n Θ))      (Satz von De Moivre)      

rⁿ (cos (n Θ) = Re {(x + i y)ⁿ}

Da nur der Realteil gesucht wird, kommen hier nur die Terme in Frage, bei denen die Potenz von i gerade ist (denn i⁰ =1, i² = -1, i⁴ = 1,…):

Für n = 2,..., 8 ergeben sich somit die folgenden erzeugenden Funktionen f_n in kartesischen Koordinaten:

Hätte man in der obigen Umformung den Imaginärteil von zⁿ gewählt, so ergäben sich die erzeugenden Polynome g_n in kartesischen Koordinaten (s. obige Tabelle), deren Flächen den von f_n erzeugten Flächen entsprechen, jedoch um 90° gedreht sind.

Ändert man die ursprünglichen Sattelfunktion in

f (r, Θ) = a r (cos(n Θ) – b) mit a = 0.5, b = 1.5, n ≥ 2, r > 0, 

so werden aus den Sattelflächen eine Art nach unten geöffneter "gewellter Kegel" oder auch "gewellter Trichter", "gewellter Rock" (wavy skirt in [3]), wie dies in der folgenden Galerie für n = 2, 3, 5, 8 gezeigt wird. Hierbei gilt für den Kasten  x, y ∈ [-m, m], z ∈ [-m, 0], m = 1.25.

Im Vergleich zu einem Sattelpunkt höherer Ordnung weist diese Fläche eine lineare r-Abhängigkeit auf. Der Ursprung ist nun ein Gipfel und kein Sattelpunkt mehr. Die Rücken der Wellen treten dort auf, wo 
cos(n Θ)  = 1 bzw. Θ_k = 2k (π/n), k ∈ {0, …, n-1) gilt; analog treten die Talsohlen dort auf, wo cos(n Θ) = –1 bzw. Θ_k = (2k + 1)(π/n) gilt. Die Höhe als Funktion von r ist dann gegeben durch z_R (r) = a (1 - b) r auf einem Wellenergrücken und z_T (r) = –a (1 + b) r in einer Talsohle. Unter der Annahme a, b > 0 sind die Längsprofile sowohl für Wellenrücken als auch für Wellentalsohlen abnehmende, lineare Funktionen von r.

Die Steigung der Funktion lässt sich durch den Gradienten in Polarkoordinaten beschreiben, der zeigt, wie sich die Funktionswerte in radialer (r) und azimutaler (Θ) Richtung ändern:

• radiale Richtung (r)
  Die Steigung ist konstant bezüglich r und hängt nur vom Winkel Θ ab:
  
  Da cos(n Θ) Werte zwischen  -1 und 1 annimmt, liegt diese Steigung immer im Bereich [-1.25, -0.25]; das bedeutet, die Funktion fällt radial immer ab.

• azimutale Richtung (Θ)
  Die Steigung ist proportional zum Radius r und zur Frequenz n:
  
  Dies führt zu einer Oszillation der Steigung, deren Intensität mit zunehmendem Abstand vom Ursprung und höherem n immer steiler wird.

Im Ursprung ist die Funktion für n ≥ 2 im Sinne der klassischen Analysis nicht differenzierbar, da die Steigung (der Gradient) vom Winkel Θ abhängt. Es gibt dort keine eindeutige Tangentialebene, die Steigungen sind aus allen Richtungen negativ und laufen im Ursprung zusammen. Es entsteht eine kegelförmige Spitze (Apex), die das absolute Maximum der Funktion bildet.

Die folgende Galerie zeigt die Kontur-Diagramme der Flächen für n = 2, 3, 5, 8 und m = 1.25. Die Skala links in einer Grafik zeigt die entsprechend eingefärbten Funktionswerte z.  

Die folgende Tabelle enthält die Funktionen in kartesischen Koordinaten.

Mit der Änderung der ursprünglichen Sattelfunktion in

f (r, Θ) = a rⁿ (cos(n Θ) – b) mit a = 0.5, b = 1.5, n ≥ 2, r > 0 

werden aus den Sattelflächen eine Art "Tafelberge", wie die folgenden Beispiele für n = 2, 3, 5, 8 zeigen. Für die Bereiche in den folgenden Grafiken gilt  x, y ∈ [-m, m], z ∈ [-m, 0], m = 1.25.

Die folgende Tabelle enthält die Funktionen in zylindrischen und kartesischen Koordinaten.

Die Art des besonderen Punktes (0 | 0 | 0) (Ursprung) – dieser war bei den Sattelflächen ein Sattelpunkt – soll nun untersucht werden:

• Es ist  –1 ≤ cos(n Θ) ≤ 1  und somit  –2.5 ≤ (cos(n Θ) – 1.5) ≤ –0.5,
  d.h. der Klammerausdruck ist stets negativ.
• Für den Term rⁿ gilt bei n ≥ 2:
• • Im Ursprung ist r = 0, woraus f (0, Θ) = 0 folgt.
  • Für alle anderen Punkte ist r > 0, also ist rⁿ stets positiv.
• z = f (r, Θ) = 0.5 rⁿ (cos(n Θ) – b) < 0    für r > 0
                    └──┘└───────┘
                       ^{> 0           < 0}
• Da im Ursprung der Funktionswert z = 0 ist und die Funktion in jeder Umgebung vom Ursprung nur negative Werte annimmt, liegt dort ein lokales Maximum.

Für n = 2 ergibt sich folgende weitere Untersuchung:

• f (x, y) = –0.25 x² – 1.25 y²
• Erste Ableitungen:  fx = -0.5x    fy = -2.5 y
  (Der Gradient in (0, 0) ist 0, was den stationären Punkt bestätigt.)
• Zweite Ableitungen:  fxx = -0.5    fyy = -2.5    fxy = fyx = 0
• Hesse-Matrix:
  
• Da beide Eigenwerte –0.5 und –2.5 negativ sind, ist die Hesse-Matrix negativ definit.
  Zusammen mit ∇ f = 0 ist dies ein hinreichendes Kriterium für ein lokales Maximum.

Für n > 2 ergibt sich:

• Für n = 2 lieferten die zweiten Ableitungen konstante Werte, die direkt die Krümmung angaben. Sobald n > 2 ist, enthalten alle zweiten partiellen Ableitungen nach der Umrechnung in kartesische Koordinaten noch Variablen (x, y) mit einer Potenz von mindestens 1.
• Setzt man den Ursprung (0, 0) in die zweiten Ableitungen ein, werden alle Einträge der Hesse-Matrix zu Null (fxx = fyy = fxy = fyx = 0).
• Da alle Eigenwerte dieser Nullmatrix den Wert 0 haben, liefert das Standard-Kriterium mit der zweiten Ableitung (Hesse-Test) keine Aussage darüber, ob es sich um ein Extremum oder einen Sattelpunkt handelt, der Punkt ist "entartet".
• Die Fläche ist im Ursprung extrem "flach", da die Krümmung (zweite Ableitung) dort verschwindet.
• Das lokale Verhalten wird nun erst durch Terme höherer Ordnung (n-te Ableitung) bestimmt. Da für größere Wert von n auch die dritte, vierte, … Ableitung im Ursprung Null sind, ist die Fläche im Zentrum extrem flach.
• Unabhängig von n gilt weiterhin die obige ursprüngliche Analyse, d.h. im Ursprung liegt ein lokales Maximum, das sogar ein globales Maximum ist.

Zusammenfassend gelten für den Punkt (0 | 0 | 0) folgende Aussagen:

Die nachfolgende Galerie zeigt die Kontur-Diagramme der Flächen für n = 2, 3, 5, 8 und m = 1.25.
Die Skala links in einer Grafik zeigt die entsprechend eingefärbten Funktionswerte z.  

Quellenverweise

[1]   https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptkr%C3%BCmmung

[2]   https://mathcurve.com/surfaces.gb/selle/selle.shtml

[3]   S. D. Peckham (2011) Monkey, Starfish and Octopus Saddles,
       http://www.geomorphometry.org/uploads/pdf/pdf2011/Peckham2011bgeomorphometry.pdf