Squirculare 3D Objekte

In [1] von 1992 stellt M. Fernandez-Guasti sein zweidimensionales Squircle vor und gab am Ende seiner Publikation die Basisgleichung für ein dreidimensionales Squircle an, ohne dies aber weiter auszuführen oder zu analysieren:

Die Lösungen dieser Gleichung erzeugen einen Würfel mit der Kantenlänge 2r (s. Abbildung rechts).

Umformen der Gleichung:

und Einführen des Parameters s - dieser entspricht dem "Quadratizitäts"-Parameter beim Squircle - für s ∈ [0, 1] führt schließlich zur Gleichung des Sphube:

Für r ≠ 0 und x, y, z ∈ [-r, r] liefert die Gleichung für s = 0 eine Kugel mit Radius r, für Werte von s ansteigend von 0 wird die Rundung der Kugel allmählich in Kanten und Ecken eines Würfels überführt, bis mit s = 1 ein Würfel der Kantenlänge 2r entsteht (s. Animation rechts).

Das Periodische Sphube ist das dreidimensionale Gegenstück zum Periodischen Squircle, eine Form zwischen Kugel und Würfel, und wird durch folgende implizite Gleichung erzeugt:

Für x, y, z ∈ [-r, r]  und s → 0 (für s = 0 ist die Gleichung entartet) ergibt sich eine Kugel mit Radius r. Für ansteigende Werte von s entstehen Mischformen aus Kugel und Würfel mit glatter, geschlossener Oberfläche. Für s = 1 entsteht ein Würfel mit der Kantenlänge 2r (s. Animation rechts).

Wie auch im zweidimensionalen Fall entstehen zusätzlich zum Kern-Sphube (orange in den folgenden Abbildungen) für x-, y- und z-Werte außerhalb von [-r, r] Loben, die sich dreifach periodisch ausbreiten. Für die folgenden Abbildungen gilt x, y, z ∈ [-3r, 3r]. 

Auch das Schräge Squircle lässt sich in den dreidimensionalen Raum erweitern. Die dem Quadrat entsprechende dreidimensionale Form besitzt jedoch keine flachen polygonalen Flächen und ist somit weder ein Würfel noch ein regulärer Oktaeder, wenngleich sie diesem sehr ähnlich sieht, quasi ein "Schein-Oktaeder". Die Gleichung für das schräge Sphube lautet:

Für x, y, z ∈ [-r, r] und s→0 liefert diese implizite Gleichung eine Kugel mit Radius r, für ansteigende Werte für s nähert sich die Form allmählich dem Schein-Oktaeder, den sie für s = 1 schließlich darstellt (s. Animation rechts).

Führt man in die Gleichung des Sphube (s.o.) die asymmetrischen Variablen a, b und c ein,  so beschreibt diese ein Squirculares Ellipsoid. Hierbei legen die zusätzlichen Variablen die große und kleine Halbachse fest: 

Mit den einschränkenden Bedingungen x ∈ [-a, a], y ∈ [-b, b] und

z ∈ [-c, c] ergibt sich für s = 0 ein reguläres Ellipsoid. Mit zunehmend größeren Werten für s geht die entstehende Form allmählich in einen Quader über, der schließlich für s = 1 entsteht. Wie beim Sphube handelt es sich bei der Gleichung für das Squirculare Ellipsoid um ein Polynom sechsten Grades. 

Eine einfache Erweiterung des FG Squircle in den dreidimensionalen Fall ergibt die folgende Gleichung (Quartic):

Sie erzeugt für s = 0 einen offenen Zylinder. Mit zunehmenden Werten für s geht die entstehende Form allmählich in einen offenen Quader über, der schließlich für s = 1 entsteht (s. Animation rechts). Ohne die Bedingung | x | ≤ a und | y | ≤ b entstehen für
0 < s ≤ 1 vier Loben (s. nachfolgende Animation).

Durch entsprechende Wahl der Koeffizienten a und b, so dass a ≠ b gilt, kann eine Exzentrizität erreicht werden (s. folgende Abbildungen).

Der Squirculare, geschlossene Zylinder wird durch folgende implizite Gleichung (Polynom Grad 4) erzeugt:

Um unerwünschte Flächenbereiche (Loben, s.u.) auszublenden, müssen die Werte für x, y und z entsprechend eingeschränkt werden:  x, y, z ∈ [-r, r].

Somit ergibt sich für s = 0 eine Kugel mit dem Radius r. Für größer werdende s-Werte geht die Kugel allmählich in einen Zylinder über, der für s→1 mit Radius r und der Höhe 2r entsteht (s. Animation rechts).

Für s = 1 ergibt sich eine Besonderheit:  

Mit der Einführung von Exzentrizität mit Hilfe der Koeffizienten a, b und c wird der squirculare, geschlossene Zylinder "anwendungs-freundlicher":

Somit lässt sich die Höhe variieren und sein Querschnitt oval gestalten. Für s = 0 wird dann jedoch keine Kugel, sondern ein Ellipsoid erzeugt. Um unerwünschte Loben zu eliminieren, muss, wie auch beim nicht-exzentrischen, squircularen, geschlossenen Zylinder, die einschränkende Bedingung | x | ≤ a, | y | ≤ b, | z | ≤ c erfüllt werden. Die Animation rechts zeigt den Bereich für
x, y, z ∈ [-r, r], es wurde a = 0.4r, b = 0.67r und c = 0.8r gewählt.

Verzichtet man auf die einschränkende Bedingung, so gelten für diesen Fall sinngemäß die obigen Aussagen beim nicht-exzentrischen Zylinder. Nachfolgend hierzu drei Abbildungen für verschiedene s-Werte: 

Diese Form ähnelt einem Kissen und wird erzeugt durch die Gleichung (Polynom vierten Grades):

Mit a = b = c entsteht für s = 0 eine Kugel mit Radius a. Für größer werdende Werte von s geht die Form allmählich in ein Kissen über, das für s = 1 (s. Abbildung unten links) erreicht ist. Dieses hat einen kreisförmigen Querschnitt entlang zweier seiner Hauptachsen und einen quadratischen Querschnitt entlang der verbleibenden Achse. In der Animation rechts wurde c < a = b gewählt, wodurch das Kissen flacher wird und der Übergang von der Kugel zum Kissen bei wachsendem s besser zu erkennen ist.

Um Loben (s. folgende Abbildung mittig und rechts) zu eliminieren, müssen die Variablen x, y und z die Bedingungen | x | ≤ a, | y | ≤ b und | z | ≤ c erfüllen.

Der squirculare Kegel ist eine Form zwischen einem Kegel und einer Pyramide. Seine Gleichung ist ein Polynom vierten Grades, wobei der Radius seines Querschnitts durch den z-Wert moduliert wird:

Für s = 0 entsteht ein Kreiskegel mit der Spitze im Ursprung des Koordinatensystems. Für größer werdende Werte für s geht der Querschnitt (dieser ist ein FG-Squircle) vom Kreis allmählich in ein Quadrat über, das schließlich bei s = 1 erreicht ist und sich somit eine Pyramide ergibt. Außer dem Kegel selbst entstehen ohne weitere Bedingungen für die erzeugende Gleichung aber auch vier Loben, die sich für s→1 immer mehr dem squircularen Kegel nähern, bis sie schließlich für s = 1 die Pyramide berühren.

Anstelle des FG-Squircle kann eine Lamé-Kurve für eine einfache, unproblematischen Erzeugung des squircularen Kegels verwendet werden. Mit der Anpassung des Exponenten an den Wertebereich von s ergibt sich folgende Gleichung:

Für s = 0 entsteht ein Kreiskegel. Mit zunehmendem größer werdenden Werten für s geht der kreisrunde Querschnitt allmählich in ein Rechteck (Quadrat, falls a = b) über, das für s = 1 erreicht ist (s. Animation rechts).

Für a ≠ b entstehen die entsprechenden Mischformen, wie z.B. bei den folgenden Abbildungen.

Eine Variante, ein ungleichförmiger, squircularer Kegel entsteht mit der folgenden Gleichung, einem Polynom vierten Grades:

Die Form ähnelt zwar einem Kegel, jedoch ändern sich Größe und Form des Querschnitts mit dem z-Wert. So ist der Querschnitt an der Spitze kreisförmig und geht dann Richtung Basis allmählich in ein Quadrat (falls a = b, sonst Rechteck) über (s. Animation).

Um unerwünschte "Anhängsel" (der eigentliche Kegel ist ein Teil im Zentrum einer Quadrik, s. folgende Abbildung links) zu eliminieren, müssen die x-, y- und z-Werte folgende Bedingungen erfüllen:

-a ≤ x ≤ a,  -b ≤ y ≤ b,   0 ≤ z ≤ c

Ein Torus mit dem Abstand R zwischen Mittelpunkt seiner Hülle und Mittelpunkt seiner Öffnung und dem Radius r seiner Hülle wird mit der folgenden impliziten Gleichung erzeugt:

Mit Hilfe des FG-Squircle mit dem Quadratizitäts-Parameter s lässt sich der Torus zu toroidalen Formen mit squircularen Querschnitten erweitern: