Schein-Polyeder
Auf dieser Seite werden für die fünf Platonischen Körper [1] Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder (s. folgende Abbildung) sowie für das Kuboktaeder [2] polyeder-ähnliche Objekte mit Hilfe algebraischer Gleichungen erzeugt.
Die Gleichungen basieren auf den Untersuchungen von Edouard Goursat, der 1887 Flächen untersuchte, die alle Symmetrieachsen eines regulären Polyeders zulassen [3].
- Kubik: C (x, y, z) = x∙y∙z + k1∙a (x2 + y2 + z2) - k0∙a3 = 0
- Quartic: Q (x, y, z) = x4 + y4 + z4 + k0 (x2 + y2 + z2) 2 + k1∙a2 (x2 + y2 + z2) + k2∙a4 = 0
-
Sextic: S (x, y, z) = z6 -
5(x2 + y2)z4 + 5(x2 + y2)2 z2 - 2(x4 - 10x2y2 + 5y4)xz + k0
(x2 + y2 + z2)3
+ k1 a2 (x2 + y2 + z2)2 + k2 a4 (x2 + y2 + z2) + k3 a6 = 0
Durch geeignete Wahl der Parameter k0 bis k3 [4] ergeben sich polyeder-ähnliche Objekte. Da diese aber abgerundete Ecken und keine ebenen Flächen besitzen, nenne ich sie hier "Schein-Polyeder". Der Parameter a bestimmt dabei die Größe des Objekts.
Anmerkung: Ein anderer Weg zur Approximation von Polyedern mittels einer Erweiterung der Super-Sphere wird unter Super-Sphere und Polyeder beschritten; dabei haben die erzeugten Objekte scharfe Ecken und Kanten.
Schein-Tetraeder
C (x, y, z) = 0 k0 = 11 / 10 k1 = 4
Schein-Hexaeder (Würfel)
Q (x, y, z) = 0 k0 = 0 k1 = -1 k2 = 0
Schein-Oktaeder
Q (x, y, z) = 0 k0 = -1 k1 = -¼ k2 = ¼
Schein-Dodekaeder
S (x, y, z) = 0 k0 = 1 k1 = -1 k2 = 1 k3 = -1
Schein-Ikosaeder
S (x, y, z) = 0 k0 = -1 k1 = 0 k2 = -1 k3 = 1
Schein-Kuboktaeder
Der nachfolgend dargestellte Schein-Kuboktaeder ist eine Sextic und beruht auf einer Gleichung in [5], die ich noch um den "Rundheits-Parameter" s (s. dazu auch Squirculare 3D Objekte) erweitert habe:
x2 + y2 + z2 - s (x2y2 - y2z2 - x2z2 + 4 x2y2z2) = 1
Für die Rundheit der Ecken wurde s = 0.95 gewählt.
Mit anderen Werten für die k-Parameter in den Gleichungen C (x,y,z), Q (x,y,z) und S (x,y,z) bzw. s = 1 in der Gleichung für den Schein-Kuboktaeder ergeben sich Schein-Polyeder mit Spitzen (Singularitäten) an den Stellen, an denen der reguläre Polyeder Ecken besitzt:
Schein-Tetraeder (spitz)
C (x, y, z) = 0 k0 = 1 k1 = 4
Schein-Hexaeder (spitz)
Q (x, y, z) = 0 k0 = - ½ k1 = 1 k2 = -3/2
Schein-Oktaeder (spitz)
Q (x, y, z) = 0 k0 = -½ k1 = 1 k2 = ½
Schein-Dodekaeder (spitz)
S (x, y, z) = 0 k0 = 0 k1 = 1 k2 = -1 k3 = -1
Schein-Ikosaeder (spitz)
S (x, y, z) = 0 k0 = -1 k1 = 0 k2 = -½ k3 = 1
Schein-Kuboktaeder (spitz)
s =1
Die fünf Platonischen Körper sowie das Kuboktaeder lassen sich mit den folgenden Gleichungen erzeugen. Hierbei ist a die Kantenlänge, Φ der Goldene Schnitt, also Φ = ½∙(1+√5) und q = 1/Φ.
max (-x+y+z, x-y+z, x+y-z, -x-y-z) = a
| x | + | y | + | z | = a
max (| x+y+z |, | -x+y+z |, | x-y+z |,
| x+y-z |, | Φ∙x+q∙y |, | Φ∙x-q∙y |,
| Φ∙y+q∙z |, | Φ∙y-q∙z
|,
| Φ∙z+q∙x |, | Φ∙z-q∙x |)
= ½∙Φ²∙a
max (| x |, | y |, | z |) = a
max (| Φ∙x+y |, | Φ∙x-y |, | Φ∙y+z |,
| Φ∙y-z |, | Φ∙z+x |,
| Φ∙z-x |)
= Φ²∙a
max (2∙| x |,
2∙| y |, 2∙| z |, | x+y+z |,
| -x+y+z |, | x-y+z |, | x+y-z |)
= 2∙a
Quellenverweise
[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper
[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Kuboktaeder
[3] E. Goursat (1887)
Étude des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d’un polyèdre régulier
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 4 (1887), p. 159-200
[4] R. Ferréol (2017) Goursat Surface <https://www.mathcurve.com/surfaces.gb/goursat/goursat.shtml>
[5] C. Fong (2022) Visualizing Squircular Implicit Surfaces, DOI:10.48550/arXiv.2210.15232