3D Spiralen
Als Spiralen im engeren Sinn bezeichnet man in der Mathematik ebene Kurven, die aus unendlichen vielen Windungen um einen festen Punkt bestehen und aus höchstens zwei Ästen mit streng monotonem
Zusammenhang zwischen Drehwinkel und Radius zusammengesetzt sind. Sie kommen in der Natur, der
Technik, der Architektur und Kunst praktisch jedes Kulturkreises und jeder Epoche vor [1].
Hier auf dieser Seite liegt der Focus auf räumlichen Spiralen.
Für jeden betrachteten Spiraltyp werden neben einigen Beispielen aus Natur / Technik dargestellt:
- Planare Spirale (Ausnahme Helix),
- 3D Spirale als Animation und Projektion der fertigen Spirale in die x/y-Ebene,
- korrespondierender Rotationskörper mit Randfunktion,
- korrespondierendes Helicoid.
Für den Rotationskörper gilt
bzw.
wobei f (z) die den Rotationskörper erzeugende Randfunktion (blaue Linie in den folgenden Diagrammen) mit ihrem Definitionsbereich Df ist.
Fügt man einer Spirale in parametrischer Darstellung für x (u) und y (u) jeweils einen weiteren Parameter v ∈ [0, 1] hinzu, so das x*(u, v) = v ∙ x(u), y*(u, v) = v ∙ y(u), so wird das korrespondierende Helicoid erzeugt.
Helix (Schraubenlinie)
Die Helix ist eine Kurve, die sich mit konstanter Steigung um den Mantel eines Zylinders mit Radius r windet. Als Basis für die 3D-Herleitung dient hier nicht wie bei den folgenden 3D Spiralen eine planare Spirale, sondern ein Kreis mit Radius r, der beliebig oft mit wachsendem Betrag von z durchlaufen wird (grüner Punkt in der mittleren Grafik).
Kreis
Helix
Zylinder
zylindrisches Helicoid
Anwendung des Helicoids:
Erdbohrer
(Quelle: erdbohrer.de)
Das Vorzeichen von c bestimmt die Drehrichtung (Gängigkeit) der Helix; dies gilt übrigens auch für die im folgenden betrachteten 3D Spiralen.
Die bisher betrachteten Helices befinden sich auf der Oberfläche von Zylindern. Am Ende der Seite finden Sie auch Helices auf nicht-zylindrischen Rotationskörpern.
Konische Spirale
Die Basis für die konische Spirale ist die Archimedische Spirale (s. Beispiele rechts). Bei ihr wächst entsprechend dem Proportio-nalitätsfaktor a der Radius ρ proportional mit dem Polarwinkel θ an, so dass der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Windungen konstant bleibt.
Archimedische Spirale
Konische Spirale
Kegel
konisches Helicoid
Galileo-Spirale
Bei der Galileo-Spirale wächst der Radius ρ quadratisch mit dem Polarwinkel θ an. Sie ähnelt einer Logarithmischen Spirale, jedoch wächst bei letzterer der Radius exponentiell (s. u.).
Ein Beispiel aus der Natur ist der eingerollte Schwanz eines Chamäleons.
Quelle: www.terraristikshop.net
Galileo-Spirale
3D Galileo-Spirale
Rotationskörper zur
3D Galileo-Spirale
Galileo-Helicoid
Paraboloide Spirale
Die Paraboloide Spirale entsteht aus der Fermat-Spirale. Bei dieser nimmt der Windungsabstand mit wachsender Entfernung zum Pol ab. Charakteristisch ist auch die stark gekrümmte erste Windung.
Fermat-Spirale
Parabolische Spirale
Rotationsparaboloid
parabolisches Helicoid
Hyperbolische Spirale
Bei der hyperbolischen Spirale hängen ρ und θ umgekehrt proportional zusammen. Dieser Zusammenhang - ähnlich wie bei Hyperbelfunktion in kartesischen Koordinaten - gibt der Spirale ihren Namen. Sie umrundet ihren Pol in unzähligen, immer enger werdenden Windungen, erreicht ihn jedoch nie.
Hyperbolische Spirale
3D Hyperbolische Spirale
Rotationshyperboloid
hyperbolisches Helicoid
3D Lituus-Spirale
Die Lituus-Spirale (s. Grafik rechts) verdankt ihren Namen der Ähnlichkeit mit einem Bischofsstab. Bei ihr ist der Winkel θ umgekehrt proportional zum Quadrat des Radius ρ. Auch sie umrundet ihren Pol, ohne ihn jemals zu erreichen, während ihr äußerer Ast sich asymptotisch der x-Achse nähert.
Lituus-Spirale
3D Lituus-Spirale
Rotationskörper zur 3D Lituus-Spiral
Lituus-Helicoid
3D Logarithmische Spirale
Die logarithmische Spirale unterscheidet sich deutlich von den bisher aufgeführten Spiralen. Ihr Radius ρ wächst exponentiell mit dem Polarwinkel θ bzw. der Polarwinkel hängt logarithmisch vom Radius ab. Auch ihr Pol ist ein asymptotischer Punkt.
Weinbergschnecke
Quelle: wikipedia.de
Tiefdruck-System über Grönland
Quelle: visibleearth.nasa.gov
Spiral Galaxy NGC 1232
Quelle: (apod.nasa.gov)
Mit der 3D Logarithmischen Spirale können z.B. Schnecken oder Meeresschnecken modelliert werden.
Logarithmische Spirale
3D Logarithmische Spirale
Rotationskörper zur 3D Logarithmischen Spirale
logarithmisches Helicoid
Kugelspirale
Eine weitere 3D Spirale ist die Kugelspirale. Diese windet entlang der Oberfläche einer Kugel, die sich z.B. aus der impliziten Gleichung x² + y² + z² = r² ergibt, wobei r der Radius der Kugel ist. Für die Kugelspirale gilt mit u ϵ [-r, r] :
Die Projektion einer Kugelspirale in die x/y-Ebene erzeugt eine Clelia-Kurve [2]. In den folgenden Galerien sind für einige Werte von c die entstehende Kugelspiralen (gelb) und die korrespondierende Cliela-Kurven (grün) dargestellt.
Die folgende Animation zeigt die entstehenden Clelia-Kurven, wenn c die Werte von 1 bis 0.05 durchläuft.
Hier sei noch angemerkt, dass man die Kugelspirale nicht mit der Loxodrome verwechseln darf. Diese letztere Spirale zeichnet sich dadurch aus, dass sie die Meridiane der Kugel stets im gleichen Winkel schneidet (s. auch Loxodrome). Zum Vergleich sind in den folgenden beiden Grafiken beide Spiralarten dargestellt.
Abschließend sind für c = 1, ½ und ¼ die korrespondierenden sphärischen Helicoide dargestellt.
Quellenverweise
[1] J. Heitzer (2002) Mathe-Welt "Spiralen", mathematik lehren, 111, S. 23-46