Quasi-Spiralen
Eine Spirale (oder Schneckenlinie) ist im mathematischen Sinne eine ebene Kurve, die sich um einen festen Mittelpunkt windet und sich dabei stetig von diesem entfernt oder sich ihm annähert. Hierbei ist die Entfernung eines Punktes vom Zentrum, der Radius (r), eine streng monotone Funktion des Drehwinkels (Θ). Sie wird meist in Polarkoordinaten über die Funktion r = r (Θ) beschrieben und ist keine in sich geschlossene Form, sondern ein offener Streckenzug.
Eine Quasi-Spirale ist eine Kurve, die das visuelle Verhalten einer klassischen Spirale nachahmt, sich aber geometrisch oder dynamisch fundamental von ihr unterscheidet. Im Gegensatz zu einer stetig und gleichmäßig wachsenden klassischen Spirale zeichnet sich eine Quasi-Spirale aus durch Unregelmäßigkeiten, eckige Segmente oder diskrete, stückweise Definitionen, d.h. aneinandergesetzte Kreisbögen unterschiedlicher Radien oder aneinandergereihte Geradenabschnitte (Polygone).
Quasi-Archimedische Spirale
Albrecht Dürer (1471 – 1528) skizzierte in seinem 1525 erschienenen Werk "Underweysung der messung, mit dem zirckel un richtscheyt" detaillierte Konstruktionsanleitungen für diverse Spiralen [1], darunter auch die für eine "Spirale" aus jeweils aneinandergesetzten Halbkreisen:
Diese lässt sich wie folgt konstruieren:
- Man zeichnet einen Halbkreis mit dem Radius ½ a um den Mittelpunkt lP.
- Ein Ende des Halbkreises wählt man als neuen Mittelpunkt lQ.
- Um den Mittelpunkt lQ zeichnet man einen weiteren Halbkreis, der dem vorhergehenden gegenüber liegt und den Radius ½ a + a besitzt.
- Um den Mittelpunkt lP zeichnet man einen weiteren Halbkreis, der dem vorhergehenden gegenüber liegt und den Radius ½ a + a + a besitzt.
- Um den Mittelpunkt lQ zeichnet man einen weiteren Halbkreis, der dem vorhergehenden gegenüber liegt und den Radius ½ a + a + a + a besitzt.
- …
Die folgende linke Animation zeigt ein Beispiel für dieses Konstruktionsprinzip. Hierbei gilt für die entstehende "Spirale" fD mit Θ = 0, …, 10π:
Für eine abschnittsweise Konstruktion der Halbkreise ergibt sich:
Im Vergleich dazu zeigt die folgende rechte Abbildung die korrespondierende "echte" Archimedische Spirale fA gemäß der Funktionsvorschrift
Auch wenn beide Objekte nahezu identisch aussehen, so handelt es sich bei der Konstruktion nach Dürer um eine Quasi-Spirale. Zwar haben die zusammengesetzten Abschnitte insgesamt einen monotonen, stetigen Verlauf (es gibt keine Sprünge), jedoch ändert sich jeweils an den Nahtstellen der Halbkreise die Krümmung κD sprungartig (s. Grafik rechts). Diese ergibt sich zu
während der Krümmungsverlauf κA der Archimedischen Spirale monoton und stetig verläuft gemäß
Bezüglich des visuellen Vergleichs beider Spiralobjekte gibt es eine interessante Studie [3], in der untersucht wurde, welchen Spiraltyp die Studienteilnehmer präferieren und warum. Auch die nachfolgend betrachtete Fibonacci-Spirale im Vergleich zur Goldenen Spirale war Gegenstand dieser Studie.
Fibonacci-Spirale
Die Fibonacci-Spirale ist eine mathematische Kurve, die auf der Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...) basiert. Sie wird aus aneinandergereihten Quadraten konstruiert, deren Seitenlängen den aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entsprechen (s. nachfolgende linke Animation). Die Seitenlänge eines neuen Quadrats ergibt sich folglich stets aus der Summe der beiden vorherigen Quadrate gemäß der Definition der rekursiven Fibonacci-Folge:
In jedes dieser Quadrate wird ein Viertelkreis mit dem Radius der jeweiligen Seitenlänge eingezeichnet (s. folgende rechte Animation). Das Verhältnis aufeinanderfolgender Radien nähert sich dabei dem Goldenen Schnitt an (Φ ≈ 1,618).
Für die zuvor aus acht Viertelkreisen konstruierte Fibonacci-Spirale soll die korrespondierende Goldene Spirale erstellt werden. Da es keine Spirale gibt, die exakt durch die Anfangs-/Endpunkte der Viertelkreise verläuft, soll mittels eines "Best Fit" (Fehlerquadratminimierung) eine bestmöglich angenäherte Spirale realisiert werden, d.h. die Summe der quadratischen Abweichungen der gesuchten Goldenen Spirale zu den Punkten ist zu minimieren.
Die Goldene Spirale mit freiem Zentrum und Rotation lässt sich durch folgende vier Unbekannte beschreiben:
- x0, y0: Zentrum der Spirale (Pol),
- a: Startradius
- α: Drehwinkel (Phasenverschiebung) der gesamten Spirale,
Der Wachstumsfaktor b ist für eine Goldene Spirale fest vorgegeben durch den Goldenen Schnitt
Φ ≈ 1.618033. Pro Vierteldrehung (π/2) wächst der Radius um Φ, also gilt:
Die theoretischen acht Punkte der Spirale für die Schritte k = 0, 1, 2, …, 7 liegen jeweils genau eine Vierteldrehung auseinander. Der Winkel für den k-ten Punkt ist also
Die Modellgleichungen für die Punkte lauten damit:
Für die Fehlerfunktion (Loss Function) werden die gegebenen acht Punkte (xk, yk) mit den berechneten Modellpunkten (xmodel(k), ymodel(k)) verglichen. Die Summe der quadrierten Abstände (Methode der kleinsten Quadrate) soll so klein wie möglich werden:
Das entstehende Gleichungssystem ist nicht-linear und lässt sich nicht ohne weiteres lösen. Stattdessen nutzt man ein numerisches Optimierungsverfahren, wie z.B. hier das Nelder-Mead-Verfahren (auch Downhill-Simplex-Verfahren) [4], das standardmäßig in Bibliotheken wie scipy.optimize.minimize in Python integriert ist [5]. Ausgehend von Startwerten (hier das geometrische Zentrum der Quadrate) verändert der Algorithmus die vier Parameter x0, y0, a und α in winzigen Schritten so lange, bis die Fehlersumme S ihr absolutes Minimum erreicht hat.
Die Optimierung wurde mit einem Python-Skript (s. Downloadbereich am Ende der Seite) durchgeführt, das folgende Resultate lieferte:
- x0 = 0.388435, y0 = 0.165271.
- a = 0.537412,
- α = 0.231804 rad.
Die gesuchte Goldene Spirale ergibt sich somit zu (s. nachfolgende Animation):
Da das Nelder-Mead-Verfahren unter Umständen in einem lokalen "Nebenminimum" hängen bleiben kann, wurden die gefundenen Parameter als Startpunkt für ein anschließendes Basin-Hopping-Verfahren [6], [7] verwendet. Diese Methode kombiniert lokale Optimierungsschritte mit globalen "Hüpfern", d.h. mit randomisierten Schritten, um aus lokalen Minima auszubrechen und eine umfassendere Suche zu ermöglichen, was die Wahrscheinlichkeit erhöht, ein globales Optimum zu finden.
Es zeigten sich jedoch keinerlei Unterschiede zu den Ergebnissen des Nelder-Mead-Verfahrens.
Die folgenden beiden Tabellen zeigen jeweils die für die Optimierung zugrunde liegenden 8 (cyan) bzw. 12 (orange) Fibonacci-Punkte, eine "Extrapolation" mit 13 bzw. 9 weiteren Fibonacci-Punkten sowie die Fehlerquadrate für alle Punkte. Bemerkenswert ist die "Genauigkeit" der hergeleiteten Goldenenen Spirale. Interessierte Leser(innen) können sich dazu im Download-Bereich unten auf der Seite eine hochaufgelöste Grafik mit der Fibonacci- und Goldenen Spirale basierend auf den 12 Werten der rechten Tabelle herunter laden.
Bezüglich der Krümmungsverläufe der Fibonacci- und Goldenen Spirale ergibt sich ein ähnlicher Zusammenhang wie zuvor bei der Dürer- und Archimedischen Spirale. Die treppenförmige Krümmung für das Beispiel der Fibonacci-Spirale ergibt sich zu:
Für die Goldene Spirale ist die kontinuierliche Krümmung unabhängig vom Startwinkel a und der Phasenverschiebung α der Spirale; sie beträgt:
Quellenverweise
[1] https://www.kunstlinks.de/cgi-bin/seiten.pl?kriterium=/spiralvergleich.jpg
[2] https://www.meisterdrucke.ch/k%C3%BCnstler/Albrecht-D%C3%BCrer.html
[3] R. Huebner (2024) Golden spiral or Fibonacci spiral: Which is more
beautiful and why?,
i-Perception 2024, Vol. 15(2), 1–8, journals.sagepub.com/doi/10.1177/20416695241243319
[4] https://de.wikipedia.org/wiki/Downhill-Simplex-Verfahren
[5] https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.minimize.html
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Basin-hopping
[7] https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.basinhopping.html
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