Goldene / Plastische Zahl, geometrische Problemstellungen
Goldene Zahl Φ
Die Goldene Zahl (auch Goldener Schnitt oder Φ) bezeichnet ein mathematisches Teilungsverhältnis zweier Größen. Für eine geteilte Strecke verhält sich ihr größerer Teil a zum kleineren Teil b wie das Verhältnis der gesamten Strecke a+b zu ihrem größeren Teil a:
Die Natur nutzt diese Proportionen z.B. bei Schneckenhäusern oder der Anordnung von Blüten. In der Kunst und Fotographie findet man sie in den Proportionen und/oder der Anordnung von Bildelementen, im Design und der Architektur z.B. bei Möbelstücken, Kreditkarten und Bauwerken für ein optisch ausgewogenes Erscheinungsbild.
Die Goldene Zahl ist die positive, reelle Lösung der einfachstmöglichen quadratischen Trinomial-gleichung
x² – x – 1 = 0
Sie ist eine irrationale Zahl, und ihr exakter algebraischer Wert lässt sich direkt über die quadratische Lösungsformel bestimmen:
Da Φ die Lösung eines quadratischen Polynoms ist, besitzt sie nur ein einziges algebraisch konjugiertes Element:
Weiterhin gilt die algebraische "Kuriosität":
und jede höhere Potenz lässt sich linear aufspalten:
Φ² = Φ + 1, Φ³ = 2Φ + 1, Φ4 = 3Φ + 2, …
Es besteht ein enger Zusammenhang der Goldenen Zahl und der Fibonacci-Folge (ℱn):
ℱn = ℱn-1 + ℱn-2 mit n ≥ 2, ℱ0 = 0, ℱ1 = 1
(ℱn) = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
wobei der Quotient aufeinanderfolgender Glieder gegen die Goldene Zahl Φ konvergiert (Nachweis s. bei Komplexe Fibonacci-Folgen):
Über die Formel von Binet lässt sich das n-te Glied der Fibonacci-Folge direkt mit Hilfe von Φ und der Konjugierten Φ' berechnen (Nachweis s. bei Komplexe Fibonacci-Folgen):
Weitere Aspekte zur Goldenen Zahl finden Sie unter 2D Quasi-Spiralen.
Φ als Lösung geometrischer Problemstellungen
Bekannt ist der Goldene Schnitt bei Strecken und Rechtecken. Im Folgenden werden weitere geometrische Problemstellungen betrachtet, bei denen sich die Goldene Zahl Φ als Lösung ergibt.
Quadrat-Problem
Von
der Fläche eines Quadrats mit Kantenlänge a wird die Fläche eines Quadrats mit Kantenlänge
b
< a
entfernt. Wann sind diese Restfläche und die Fläche eines Rechtecks mit einer Seite b (alternativ: Seite a) flächengleich?
Lösung: Die Flächen sind gleich, falls a / b = Φ gilt.
Dreieck-Problem
Von der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Kantenlänge a wird die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Kantenlänge b < a entfernt. Wann sind diese Restfläche und die Fläche eines (gleichschenkligen) Dreiecks mit Grundseite b und der Höhe ha (alternativ: Grundseite a und Höhe hb) flächengleich?
Lösung: Die Flächen sind gleich, falls a / b = Φ gilt.
Kreis-Problem
Von einer Kreisfläche mit Radius a wird eine Kreisfläche mit Radius b < a entfernt. Wann sind diese Restfläche und eine Ellipse mit den beiden Halbachsen a und b flächengleich?
Lösung: Die Flächen sind gleich, falls a / b = Φ gilt.
Plastische Zahl ψ
Die Plastische Zahl (meist mit dem kleinen griechischen Buchstaben psi (ψ) oder rho (ρ) bezeichnet) dient primär als Proportionssystem, um Größenverhältnisse für das menschliche Auge harmonisch zu strukturieren. Sie geht zurück auf den niederländischen Benediktinermönch Dom Hans van der Laan, der sie nutzte, um die optimalen Proportionen von Baumaterialien, Wänden, Türen und Raumhöhen zu definieren. Weiterhin beschreibt sie das Verhältnis, ab dem Objekte unterschiedlichen Größenordnungen zugeordnet werden.
Die Plastische Zahl ψ ist die eindeutige reelle Lösung der kubischen Gleichung:
x³ – x – 1 = 0
Ihr exakter algebraischer Wert lässt sich mit Hilfe der Cardanischen Formeln [x] ausdrücken:
Da ψ eine Lösung eines kubischen Polynoms ist, besitzt sie zwei weitere (komplexe) algebraisch Konjugierte. Diese sind:
Jede höhere Potenz der Plastischen Zahl lässt sich als Linearkombination kleinerer Potenzen darstellen:
ψ³ = ψ + 1, ψ4 = ψ² + 1, ψ5 = ψ² + ψ + 1
und es gilt für negative Potenzen:
ψ-1 = ψ4 – ψ³
Analog dazu, wie der Goldene Schnitt mit der Fibonacci-Folge verknüpft ist, ist dies der Fall für die Plastische Zahl und die Padovan-Folge (𝒫n):
𝒫n = 𝒫n-2 + 𝒫n-3 mit n ≥ 3, 𝒫0 = 𝒫1 = 𝒫2 =1
(𝒫n) = 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, ...
wobei der Quotient aufeinanderfolgender Glieder gegen ψ konvergiert:
denn nimmt man an, dass das Verhältnis gegen ψ konvergiert und teilt die Rekursionsformel durch 𝒫n-1:
so wird im Unendlichen daraus:
Multipliziert man die gesamte Gleichung mit ψ², so erhält man die charakteristische kubische Gleichung der Plastischen Zahl:
ψ³ = ψ + 1
ψ als Lösung geometrischer Problemstellungen
